2005-上海卷理-06 填-参数方程化普通方程

本题导读

本题核心考查将圆的参数方程化为直角坐标下的普通方程。解题关键在于利用同角三角函数的平方和恒等式消去参数 $\theta$。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 将参数方程 $\{\begin{array}{l}x=1+2\cos \theta \\ y=2\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数) 化为普通方程，所得方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将参数方程中的两式分别变形，把 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 独立表达出来。
2. 利用同角三角函数的基本关系式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 进行代换，从而完全消去参数 $\theta$。

✅【答案】

Success

$(x-1{)}^2+y^2=4$

✍【详细解析】

Abstract

由原参数方程： $\{\begin{array}{l}x=1+2\cos \theta \text{(1)}\\ y=2\sin \theta \text{(2)}\end{array}$ 由 ① 移项变形得：$x-1=2\cos \theta ⟹\cos \theta =\frac{x-1}{2}$； 由 ② 变形得：$\sin \theta =\frac{y}{2}$。

将上述两式代入同角三角函数恒等式 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 中，得： ${\left(\frac{x-1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2=1$ 两边同乘以 4，化简得： $(x-1{)}^2+y^2=4$

答案为：$(x-1{)}^2+y^2=4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程与直角坐标方程的互化、同角平方和关系式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 的应用。
2. 核心方法：公式消参法。
3. 避坑指南：一是在变形过程中不要漏掉分母的平方，例如将 ${\left(\frac{x-1}{2}\right)}^2$ 错写为 $\frac{(x-1{)}^2}{2}$；二是在去分母时，注意等号右边的常数 $1$ 也要同步乘以 4。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“坐标系与参数方程”章节中关于“圆的参数方程”的标准课后基础习题。 2.结论推广: 以 $(a,b)$ 为圆心， $R$ 为半径的圆的参数方程标准形式为 $\{\begin{array}{l}x=a+R\cos \theta \\ y=b+R\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数)，利用平方和性质可以迅速将其还原为标准普通方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)