2005-上海卷理-05 填-双曲线的标准方程

本题导读

本题核心考查根据双曲线的焦点位置、焦点坐标以及渐近线方程求解其标准方程，属于圆锥曲线基础性质的综合应用。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 若双曲线的渐近线方程为 $y=\pm 3x$，它的一个焦点是 $(\sqrt{10},0)$，则双曲线的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据焦点坐标 $(\sqrt{10},0)$ 确定双曲线的焦点在 $x$ 轴上，且半焦距 $c=\sqrt{10}$。
2. 结合焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程公式 $\frac{b}{a}=3$，建立关于 $a,b$ 的比例关系。
3. 利用双曲线基本性质 $c^2=a^2+b^2$ 列方程组求出 $a^2$ 与 $b^2$，写出标准方程。

✅【答案】

Success

$x^2-\frac{y^2}{9}=1$

✍【详细解析】

Abstract

因为双曲线的一个焦点是 $(\sqrt{10},0)$， 所以焦点在 $x$ 轴上，且半焦距 $c=\sqrt{10}$，则 $c^2=10$。

由于焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$， 对照已知渐近线方程 $y=\pm 3x$ 可得： $\frac{b}{a}=3⟹b=3a⟹b^2=9a^2$。

根据双曲线中的几何性质 $c^2=a^2+b^2$，代入数据得： $a^2+9a^2=10⟹10a^2=10$ 解得：$a^2=1$。 进而求得：$b^2=9a^2=9$。

所以，双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{9}=1$，即 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$。

答案为：$x^2-\frac{y^2}{9}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点在 $x$ 轴上的双曲线标准方程形式 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$、基本量关系式 $c^2=a^2+b^2$、渐近线斜率与 $a,b$ 的对应。
2. 核心方法：待定系数方程组法。
3. 避坑指南：一是极易将双曲线的性质 $c^2=a^2+b^2$ 误记为椭圆的 $c^2=a^2-b^2$；二是必须根据焦点坐标明确开口方向，避免错将渐近线斜率套用为 $\frac{a}{b}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第一册“双曲线的几何性质”章节中关于“已知几何条件求标准方程”的课后基础习题。 2.结论推广: 渐近线方程为 $y=\pm kx$ 且焦点在 $x$ 轴上的双曲线，可设其方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{k^2{a}^2}=1$，利用 $c^2=a^2(1+k^2)$ 可一步到位锁定参数。

🔗【关联脉络】

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