2005-上海卷文-19 解-向量定系数与均值不等式

本题导读

本题考查向量定系数与均值不等式求最值，核心在于把向量条件坐标化定出 $k$、$b$ 后，对分式换元配凑成 $t+\frac{1}{t}$ 型。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=kx+b$ 的图象与 $x$、$y$ 轴分别相交于点 $A$、$B$，$\overrightarrow{AB}=2\vec{\mathbf{i}}+2\vec{\mathbf{j}}$（$\vec{\mathbf{i}}$、$\vec{\mathbf{j}}$ 分别是与 $x$、$y$ 轴正半轴同方向的单位向量），函数 $g(x)=x^2-x-6$．

(1) 求 $k$，$b$ 的值；

(2) 当 $x$ 满足 $f(x)>g(x)$ 时，求函数 $\frac{g(x)+1}{f(x)}$ 的最小值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A\left(-\frac{b}{k},0\right)$，$B(0,b)$，$\overrightarrow{AB}=\left(\frac{b}{k},b\right)=(2,2)$，得 $k=1$，$b=2$。
2. $f(x)>g(x)$：$x+2>x^2-x-6$，即 $(x+2)(x-4)<0$，$x\in (-2,4)$。
3. $\frac{g(x)+1}{f(x)}=\frac{x^2-x-5}{x+2}$，令 $t=x+2\in (0,6)$，化为 $t-5+\frac{1}{t}⩾-3$，等号当 $t=1$ 取得。

✅【答案】

Success

k=1，b=2；最小值为−3.

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(x)=kx+b$ 与 $x$ 轴交于 $A\left(-\frac{b}{k},0\right)$（$k\ne 0$），与 $y$ 轴交于 $B(0,b)$，故 $\overrightarrow{AB}=\left(\frac{b}{k},b\right)$． 由 $\overrightarrow{AB}=2\vec{\mathbf{i}}+2\vec{\mathbf{j}}=(2,2)$，得 $\frac{b}{k}=2$ 且 $b=2$，解得 $k=1$，$b=2$． (2) 此时 $f(x)=x+2$，$g(x)=x^2-x-6$．由 $f(x)>g(x)$ 得 $x+2>x^2-x-6$，即 $x^2-2x-8<0$，$(x-4)(x+2)<0$，故 $-2<x<4$，此时 $x+2>0$． $\frac{g(x)+1}{f(x)}=\frac{x^2-x-5}{x+2}$．令 $t=x+2\in (0,6)$，则 $x=t-2$，分子 $=(t-2{)}^2-(t-2)-5=t^2-5t+1$，故原式 $=\frac{t^2-5t+1}{t}=t+\frac{1}{t}-5$． 由均值不等式，$t+\frac{1}{t}⩾2$，等号当且仅当 $t=1$（即 $x=-1\in (-2,4)$）时成立． 故所求最小值为 $2-5=-3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量定系数与均值不等式

核心方法：(1) 由 $\overrightarrow{AB}=(b/k,b)=(2,2)$ 定 $k,b$；(2) 换元 $t=x+2$，$t-5+\frac{1}{t}⩾-3$

避坑指南：$\frac{g(x)+1}{f(x)}$ 分母取正后方可均值不等式；等号成立条件 $x=-1$ 须在定义域内

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量定系数与均值不等式结合（教材向量与不等式交汇）

结论推广：$\frac{t^2-5t+1}{t}=t+\frac{1}{t}-5⩾-3$ 的配凑型

方法推广：换元后分母取正才能用均值不等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-19 解-立几综合
• 2013-大纲卷文-19 解-线线垂直与点面距离