2005-上海卷文-06 填-两角和差求值

本题导读

本题考查两角和差求值，以及和角公式。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 若 $\cos \alpha =\frac{1}{7}$，$\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。
2. $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{2}-\frac{4\sqrt{3}}{7}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{11}{14}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{11}{14}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$． 故 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{2}-\frac{4\sqrt{3}}{7}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{14}-\frac{6}{7}=-\frac{11}{14}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和差求值

核心方法：先求 $\sin \alpha =\frac{4\sqrt{3}}{7}$，再代入和角公式

避坑指南：平方开方取正号依赖 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，符号讨论不能省

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两角和差公式是三角恒等变换基石（教材必修四）

结论推广：知 $\cos \alpha$ 求任意 $\alpha +\beta$ 型一律先补 $\sin \alpha$

方法推广：平方关系定符号 + 和差公式代入的两步流程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III文-06 单-三角化简
• 2011-浙江卷理-06 单-两角和差