2005-上海卷文-05 填-三角函数周期

本题导读

本题考查三角函数周期，以及两项分别看周期。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 函数 $y=\cos 2x+\sin x\cos x$ 的最小正周期 $T=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$。
2. 两项周期均为 $\pi$，故 $T=\pi$。

✅【答案】

Success

$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$，函数化为 $y=\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x$． $\cos 2x$ 与 $\frac{1}{2}\sin 2x$ 的最小正周期均为 $\pi$，故原函数的最小正周期 $T=\pi$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数周期

核心方法：两项分别看周期：$\cos 2x$ 与 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 周期均为 $\pi$

避坑指南：和函数周期取两项周期的最小公倍数；$\sin x\cos x$ 应先降幂为 $\frac{1}{2}\sin 2x$ 再判

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：和函数周期问题源自教材三角函数图象与性质节

结论推广：$A\cos 2x+B\sin x\cos x$ 型周期均为 $\pi$（或为 $\frac{\pi }{\omega }$ 的公约）

方法推广：先降幂统一到 $\sin 2x,\cos 2x$ 再读周期

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷III理-05 单-三角函数
• 2018-全国卷I文-08 单-二倍角公式