2004-重庆理-17 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于辅助角公式法、整体代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 求函数 $y={\sin }^{4}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-{\cos }^{4}x$ 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 $[0,\pi ]$ 上的单调递增区间.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 项重组与恒等变换降幂：
   • 将四次项组合在一起变形为 $({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$，利用同角平方和为 1 简化，再套用二倍角余弦公式化为 $-\cos 2x$。
   • 中间项 $2\sqrt{3}\sin x\cos x$ 直接套用二倍角正弦公式化为 $\sqrt{3}\sin 2x$。
2. 辅助角公式合成标准型：将化简后的 $y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$ 利用辅助角公式 $A\sin (\omega x+\phi )$ 合并，从而清晰展现振幅 $A$、角速度 $\omega$ 与初相 $\phi$。
3. 求解周期、最值与单调区间：
   • 周期由公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 决定。
   • 最小值由正弦函数边界值 $-1$ 决定。
   • 求解单调递增区间时，将整体自变量 $2x-\frac{\pi }{6}$ 置于正弦函数的标准单调递增区间 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ 内进行解集夹逼，最后取与 $[0,\pi ]$ 的交集。

✅【答案】

Success

最小正周期 $\pi$，最小值 $-2$；单调递增区间 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 和 $\left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代数式恒等变换与降幂化简 原函数解析式为： $y={\sin }^{4}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-{\cos }^{4}x$ 将首尾两项利用平方差公式进行重组因式分解，将中间项套用二倍角正弦公式： $y=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+\sqrt{3}(2\sin x\cos x)$ 代入同角三角函数基础关系式 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$，以及二倍角公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$， $2\sin x\cos x=\sin 2x$： $y=(-\cos 2x)\cdot 1+\sqrt{3}\sin 2x$ 调整项的代数顺序，化简为： $y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$

第二步：利用辅助角公式合并提取 提取系数平方和根值 $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3+1}=2$： $y=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x\right)$ 由于 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$，逆用两角和与差的正弦公式化简为： $y=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

第三步：计算最小正周期与最小值

1. 最小正周期 $T$： 因为复合角自变量 $x$ 的系数（角速度） $\omega =2$，所以最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$
2. 最小值 $y_{\text{min}}$： 对于任意实数 $x$，正弦函数的值域范围恒满足 $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1$． 因此，当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$ 时，函数取得全局最小值为： $y_{\text{min}}=2\times (-1)=-2$

第四步：求解在区间 $[0,\pi ]$ 上的单调递增区间 令标准正弦函数的整体自变量落在其标准的单调递增区间上： $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 各项同时加上 $\frac{\pi }{6}$ 隔离变项： $-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2k\pi$ $-\frac{\pi }{3}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{3}+2k\pi$ 各项同时除以 2，解得该函数内的单调递增区间集合为： $-\frac{\pi }{6}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{3}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

题目要求限定在闭区间 $x\in [0,\pi ]$ 内，我们对整数 $k$ 实施离散穷举取交集：

• 当 $k=0$ 时，单调增区间为 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$，与 $[0,\pi ]$ 取交集得： $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$；
• 当 $k=1$ 时，单调增区间为 $\left[\frac{5\pi }{6},\frac{4\pi }{3}\right]$，与 $[0,\pi ]$ 取交集得： $\left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$．

综上所述，函数在 $[0,\pi ]$ 上的单调递增区间为 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 和 $\left[\frac{5\pi }{6},\pi \right]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四次幂平方差变换向二倍角公式的化归机制；辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$ 的准确提取；利用整体换元法求解复合三角函数的单调性区间。
2. 核心方法：二倍角降幂法、整体变量夹逼法。
3. 避坑指南：
   • 化简四次项时正负号看错：注意 ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=-({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x)=-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=-\cos 2x$．很多学生由于粗心漏掉外侧的负号，直接算成 $+\cos 2x$，导致后续初相完全错误。
   • 遗漏单调区间在边界处的截断：在求出增区间后，必须强制与题目要求的 $[0,\pi ]$ 范围求交集。左边界 $-\frac{\pi }{6}$ 必须被截断到 $0$，右边界 $\frac{4\pi }{3}$ 必须被截断到 $\pi$，防止因区间溢出导致扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查三角函数图象与性质（复杂齐次三角系统）的标准大纲解答题第一题，属于中等难度基础题。
2. 结论推广: 本题涉及的转化结构属于通用的二次齐次三角运算线性化模型．一般地，对于任意二次齐次多项式图形 $y=a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x$，通过套用半角公式与二倍角通式，均能完整且无条件地退化线性化为标准的一维简谐振动方程 $y=A\sin (2x+\phi )+k$．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 1985-广东文-10 填-正弦函数的最小正周期