2004-重庆理-16 填-椭圆的参数方程与标准方程的互化

本题导读

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 对任意实数 $k$，直线 $y=kx+b$ 与椭圆 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+2\cos \theta \\ y=1+4\sin \theta \end{array}$ ($0\le \theta \le 2\pi$) 恰有一个公共点，则 $b$ 取值范围是 $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 消去参数求普通方程：由 $\cos \theta =\frac{x-\sqrt{3}}{2}$， $\sin \theta =\frac{y-1}{4}$，用 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 消参，得椭圆普通方程 $\frac{(x-\sqrt{3}{)}^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{16}=1$。
2. 联立并用判别式表示相切：直线与椭圆”恰有一个公共点”即相切。把 $y=kx+b$ 代入椭圆方程，化为关于 $x$ 的一元二次方程，令判别式 $\Delta =0$。
3. 由 $k$ 为实数确定 $b$ 的范围：$\Delta =0$ 化简后得到关于 $k$ 的二次方程，因 $k$ 为实数，其判别式 $\ge 0$，解出 $b$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

$(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：消去参数求椭圆普通方程 椭圆参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+2\cos \theta \\ y=1+4\sin \theta \end{array}$ 移项： $\cos \theta =\frac{x-\sqrt{3}}{2},\sin \theta =\frac{y-1}{4}$

由 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 消参： ${\left(\frac{x-\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y-1}{4}\right)}^2=1$ 展开分母，得中心在 $(\sqrt{3},1)$ 的椭圆： $\frac{(x-\sqrt{3}{)}^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{16}=1\text{（式1）}$

第二步：联立直线与椭圆，用判别式表示相切 将（式1）两边乘 16： $4(x-\sqrt{3}{)}^2+(y-1{)}^2=16$ 代入 $y=kx+b$： $4(x^2-2\sqrt{3}x+3)+(kx+b-1{)}^2=16$ $4x^2-8\sqrt{3}x+12+[k^2{x}^2+2k(b-1)x+(b-1{)}^2]=16$ 按 $x$ 的降幂合并： $(4+k^2)x^2+[2k(b-1)-8\sqrt{3}]x+[12+(b-1{)}^2-16]=0$ $(4+k^2)x^2+2[k(b-1)-4\sqrt{3}]x+[(b-1{)}^2-4]=0$

直线与椭圆恰有一个公共点，即该一元二次方程有唯一实根，判别式 $\Delta =0$，即 $\frac{\Delta }{4}=0$： $\frac{\Delta }{4}=[k(b-1)-4\sqrt{3}{]}^2-(4+k^2)[(b-1{)}^2-4]=0$ 展开： $k^2(b-1{)}^2-8\sqrt{3}k(b-1)+48-[4(b-1{)}^2-16+k^2(b-1{)}^2-4k^2]=0$ 最高次项 $k^2(b-1{)}^2$ 相消，整理： $-8\sqrt{3}k(b-1)+48-4(b-1{)}^2+16+4k^2=0$ 两边除以 4： $k^2-2\sqrt{3}(b-1)k+[16-(b-1{)}^2]=0\text{（式2）}$

第三步：由 $k$ 为实数确定 $b$ 的范围 （式2）是关于 $k$ 的一元二次方程。由题意，对任意实数 $k$ 直线都与椭圆相切，故该关于 $k$ 的方程应有实数解，其判别式 ${\Delta }_k\ge 0$： ${\Delta }_k=[-2\sqrt{3}(b-1){]}^2-4\times 1\times [16-(b-1{)}^2]\ge 0$ 展开： $12(b-1{)}^2-4[16-(b-1{)}^2]\ge 0$ 两边除以 4： $3(b-1{)}^2-[16-(b-1{)}^2]\ge 0$ $3(b-1{)}^2-16+(b-1{)}^2\ge 0$ 合并： $4(b-1{)}^2\ge 16⟹(b-1{)}^2\ge 4$

解得： $b-1\le -2\text{或}b-1\ge 2$ 即： $b\le -1\text{或}b\ge 3$

故 $b$ 的取值范围是 $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆参数方程通过 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 消参；直线与曲线相切时关于 $x$ 的判别式 $\Delta =0$；由”$k$ 为实数”转化为关于 $k$ 的方程判别式 ${\Delta }_k\ge 0$ 求 $b$ 的范围。
2. 核心方法：消参联立法、判别式法。
3. 避坑指南：
   • 不能把（式2）当成关于 $k$ 的恒等式（那样会得二次项系数 $1=0$ 的矛盾）。应把（式2）看作”关于 $k$ 的方程有实根”，令其判别式 ${\Delta }_k\ge 0$ 求解。
   • 消参时先移项再平方：$x=\sqrt{3}+2\cos \theta$ 应先写成 $x-\sqrt{3}=2\cos \theta$ 再平方；若直接两边平方会产生多余交叉项，无法消去三角函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查椭圆切线方程与截距的关系，属压轴填空题。
2. 结论推广: 对平移后的椭圆 $\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b_0^2}=1$，斜率为 $k$ 的切线为 $y-y_0=k(x-x_0)\pm \sqrt{a^2{k}^2+b_0^2}$，化为斜截式可求截距 $b$ 与 $k$ 的关系，再由 $k$ 为实数确定 $b$ 的范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切