2004-重庆理-15 填-几何模型的面积计算

本题导读

本题考查几何模型的面积计算，以及无穷递缩等比数列的极限。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 如图 $P_1$ 是一块半径为 1 的半圆形纸板，在 $P_1$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_2$，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 $P_3、P_4、\cdots 、P_n、\cdots$，记纸板 $P_n$ 的面积为 $S_n$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 罗列前几项被剪掉的半圆半径：
   • 第 1 次剪掉的半圆半径： $r_1=\frac{1}{2}$；
   • 第 2 次剪掉的半圆直径等于前一个半径 $⟹$ 直径为 $\frac{1}{2}$，则半径 $r_2=\frac{1}{4}$；
   • 第 3 次剪掉的半圆直径等于前一个半径 $⟹$ 直径为 $\frac{1}{4}$，则半径 $r_3=\frac{1}{8}$。
   • 依此类推，被剪掉的半圆半径构成首项为 $\frac{1}{2}$，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列： $r_{n-1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。
2. 计算剪去半圆的面积序列：由于半圆面积公式为 $S=\frac{1}{2}\pi r^2$，半径每次减半，意味着每次剪掉的半圆面积将变为上一次的 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$。
3. 建立 $S_n$ 的极限级数方程：图形 $P_n$ 的面积等于初始大半圆面积减去前面所有被剪掉的小半圆面积之和。当 $n\to \infty$ 时，减去的部分是一个无穷递缩等比级数，直接套用求和通式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 求解。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：推导被剪掉半圆的面积数列 初始完整大半圆 $P_1$ 的半径为 $R=1$，其初始面积 $S_1$ 为： $S_1=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi \times 1^2=\frac{\pi }{2}$

我们顺次分析每次被剪掉的半圆的几何量：

1. 第 1 个被剪掉的半圆（从 $P_1$ 到 $P_2$）： 已知半径为 $r_1=\frac{1}{2}$，其对应的面积为： $\Delta S_1=\frac{1}{2}\pi r_1^2=\frac{1}{2}\pi \times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{8}$
2. 第 2 个被剪掉的半圆（从 $P_2$ 到 $P_3$）： 题目已知该半圆的“直径为前一个被剪掉半圆的半径”，即直径等于 $r_1=\frac{1}{2}$。 则其半径为 $r_2=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。其对应的面积为： $\Delta S_2=\frac{1}{2}\pi r_2^2=\frac{1}{2}\pi \times {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{\pi }{32}$
3. 第 3 个被剪掉的半圆（从 $P_3$ 到 $P_4$）： 同理，直径等于 $r_2=\frac{1}{4}$，则其半径为 $r_3=\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$。其对应的面积为： $\Delta S_3=\frac{1}{2}\pi r_3^2=\frac{1}{2}\pi \times {\left(\frac{1}{8}\right)}^2=\frac{\pi }{128}$

由此可知，所有被剪掉的半圆面积序列 $\{\Delta S_n\}$ 构成了一个以 $\Delta S_1=\frac{\pi }{8}$ 为首项，公比为 $q=\frac{1}{4}$ 的无穷递缩等比数列。

第二步：建立前 $n$ 项和并求极限 图形 $P_n$ 的总体面积 $S_n$ 等于初始总面积减去所有已剪去小半圆的面积累加和： $S_n=S_1-{\sum }_{k=1}^{n-1}\Delta S_k$ 当项数 $n\to \infty$ 时，对其两边同时取极限： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{\pi }{2}-{\sum }_{k=1}^{\infty }\Delta S_k$

根据无穷递缩等比级数求和公式 $S_{\infty }=\frac{a_1}{1-q}$，代入首项 $a_1=\frac{\pi }{8}$ 和公比 $q=\frac{1}{4}$： ${\sum }_{k=1}^{\infty }\Delta S_k=\frac{\frac{\pi }{8}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{\pi }{8}}{\frac{3}{4}}=\frac{\pi }{8}\times \frac{4}{3}=\frac{\pi }{6}$

最终，总纸板残余面积的极限值为： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi -\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分形几何递推中长度分量与面积分量的倍率缩放关系（半径减半则面积变为 $\frac{1}{4}$）；无穷递缩等比级数求和公式 $S_{\infty }=\frac{a_1}{1-q}$ 的收敛性控算。
2. 核心方法：几何级数建模法、无穷等比求和法。
3. 避坑指南：
   • 错把直径当半径导致公比错误：注意题目描述“其直径为前一个被剪掉半圆的半径”。部分学生想当然以为半径每次减半，导致把直径当半径直接算，必须通过前两项显式写出半径数值进行安全校验。
   • 求和公式中首项选错：在代入 $\frac{a_1}{1-q}$ 时，级数减去的部分是从第一个挖去的半圆 $\Delta S_1=\frac{\pi }{8}$ 开始的，切勿把大半圆的面积 $\frac{\pi }{2}$ 错当成级数的首项 $a_1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查分式几何模型下的无穷有界收敛性质的经典大纲压轴填空题，属于中高难度常规题。
2. 结论推广: 求不规则图形的面积，常用割补法或面积差：用整体面积减去若干规则部分的面积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1977-福建文-01 解-综合小题九连