2004-重庆理-11 单-古典概型与概率计算

本题导读

本题考查古典概型与概率计算，以及排列组合中的捆绑法。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛, 其中一班有 3 位, 二班有 2 位, 其它班有 5 位, 若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序, 则一班有 3 位同学恰好被排在一起 (指演讲序号相连), 而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为 ()

A. $\frac{1}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{20}$　　　　　　C. $\frac{1}{40}$　　　　　　D. $\frac{1}{120}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求全集基本事件总数 $N$： 10 位同学的全排列没有受到任何额外规则限制，是一个标准全排列，基本事件总数为 $N={\mathrm{A}}_{10}^{10}$。
2. 计算目标事件包含的排列数 $M$：
   • 一班相邻（捆绑法）：将一班的 3 位同学视作一个整体，记为大元素 $X$。内部排列数满足 ${\mathrm{A}}_3^3$。
   • 二班不相邻（插空法）：先将不含限制的“其它班 5 位同学”进行全排列，共有 ${\mathrm{A}}_5^5$ 种。排好后会产生 6 个空隙。
   • 整体复合插入：二班的 2 位同学（视作两个独立元素）与一班的整体大元素 $X$，这 3 个元素需要在上述 6 个间隙中挑选 3 个空隙进行注入全排列，从而保证二班的 2 位同学互不相邻且一班整体在内。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总基本事件数 $N$ 10 位来自不同班级的同学确定演讲顺序，任意排列且没有附加任何限制，对应的全排列总数为： $N={\mathrm{A}}_{10}^{10}$

第二步：利用“捆绑法”与“插空法”联合控算符合要求的排列数 $M$

1. 第一步（捆绑一班）： 题目要求一班的 3 位同学必须恰好排在一起，采用捆绑法。将这 3 位同学打包看作一个复合的“整体元素” $X$。 一班这 3 位同学在这个整体内部可以调换顺序，其内部的全排列数为： ${\mathrm{A}}_3^3=6$
2. 第二步（排基准元素）： 为了让二班的 2 位同学不相邻，必须采用插空法。我们先安排不受“不相邻限制”的其它班的 5 位同学。 其它班 5 位同学的全排列数为： ${\mathrm{A}}_5^5=120$ 当这 5 位同学排成一列后，其内部及两端一共会暴露出 6 个等价的空间空隙： $\text{\_ }{\text{其}}_1\text{ \_ }{\text{其}}_2\text{ \_ }{\text{其}}_3\text{ \_ }{\text{其}}_4\text{ \_ }{\text{其}}_5\text{ \_}$
3. 第三步（插空放置）： 现在需要把一班排好的“整体元素 $X$”以及二班的 2 位同学（记为 $B_1,B_2$），作为 3 个独立的整体元素，插到上述 6 个空隙中。这样能天然保证 $B_1$ 与 $B_2$ 之间至少隔了其它同学或一班的整体，确保二班 2 位同学绝对不会排在一起。 从 6 个空隙中随机挑选 3 个让这 3 个元素入座，对应的排列数为： ${\mathrm{A}}_6^3=6\times 5\times 4=120$

根据分步计数原理，满足所有限制条件的目标排列总数 $M$ 为： $M={\mathrm{A}}_3^3\times {\mathrm{A}}_5^5\times {\mathrm{A}}_6^3$

第三步：求解目标事件的古典概率 $P$ 根据古典概型概率计算公式 $P=\frac{M}{N}$： $P=\frac{{\mathrm{A}}_3^3\times {\mathrm{A}}_5^5\times {\mathrm{A}}_6^3}{{\mathrm{A}}_{10}^{10}}$

对阶乘及排列多项式分式进行约分与代数化简： $P=\frac{3!\times 5!\times (6\times 5\times 4)}{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5!}$ 分子与分母同时消去公阶乘项 $5!$： $P=\frac{6\times 6\times 5\times 4}{10\times 9\times 8\times 7\times 6}$ 分子分母同时约去 6： $P=\frac{6\times 5\times 4}{10\times 9\times 8\times 7}$ 继续对常数项进行因式约分，注意到分子 $5\times 4=20$，分母 $10\times 8=80$，约分后分母剩 4： $P=\frac{6}{9\times 4\times 7}$ 分子 6 与分母 4 约去 2 剩 3， 3 与 9 约去 3 剩 3： $P=\frac{1}{3\times 2\times 7}=\frac{1}{42}\dots \text{算错了，重新约分}$

重新进行约分计算： $P=\frac{6\times 120}{10\times 9\times 8\times 7\times 6}=\frac{120}{10\times 9\times 8\times 7}$ 分子分母消去 10： $P=\frac{12}{9\times 8\times 7}$ 分子 12 与分母 8 同时约去 4，分子剩 3，分母剩 2： $P=\frac{3}{9\times 2\times 7}$ 分子 3 与分母 9 约去 3，分母剩 3： $P=\frac{1}{3\times 2\times 7}=\frac{1}{42}\dots \text{再次对解析式进行核对}$

重新审查第二步插空元素定义： 一班的整体 $X$ 是否可以在二班两人中间起到阻隔作用？是的。 如果选 3 个空，可以是 $B_1,X,B_2$，确实不相邻。 但是注意，一班 3 人是“恰好被排在一起”。 分母是 ${\mathrm{A}}_{10}^{10}$。 分子的化简： ${\mathrm{A}}_3^3\times {\mathrm{A}}_5^5\times {\mathrm{A}}_6^3=6\times 120\times 120=86400$。 分母 ${\mathrm{A}}_{10}^{10}=3628800$。 比例 $P=\frac{86400}{3628800}=\frac{864}{36288}$。 用 432 约分： $\frac{2}{84}=\frac{1}{42}$。 看选项中没有 $\frac{1}{42}$，重新审题。 噢！“其它班有 5 位同学”。 1 班 3 位， 2 班 2 位，共 $3+2+5=10$ 位。 如果采用更简单的不相邻做法： 先把一班 3 位捆绑成 1 个元素，和其它班 5 人一起排，共 6 个元素。全排列 ${\mathrm{A}}_6^6$。 这 6 个元素排好产生 7 个空隙。再把二班 2 人插入这 7 个空， ${\mathrm{A}}_7^2$。 这样一班的内部是 ${\mathrm{A}}_3^3$。 所以分子 $M={\mathrm{A}}_3^3\times {\mathrm{A}}_6^6\times {\mathrm{A}}_7^2$。

我们计算这种情况下的概率： $P=\frac{{\mathrm{A}}_3^3\times {\mathrm{A}}_6^6\times {\mathrm{A}}_7^2}{{\mathrm{A}}_{10}^{10}}=\frac{6\times 720\times 42}{3628800}=\frac{181440}{3628800}=\frac{1}{20}$

重新评估两种解法的逻辑差异

• 为什么第一种方法少算了一些情况？ 第一种方法先排了“其它班 5 人”，把一班整体 $X$ 挪到第三步去和二班一起插空。这意味一班的整体 $X$ 和二班的 2 人不能在同一个空隙里。 但是在实际排队中，一班整体 $X$ 和二班某人是可以紧挨着的，只要二班的两个人不相邻即可。 比如排序： ${\text{其}}_1,B_1,X,{\text{其}}_2$。在这个序列里， $B_1$ 和一班整体 $X$ 挨在同一个由“其它班同学”夹出来的空隙中，这完全是合法的，因为二班的 $B_2$ 在更远的地方。第一种解法强制将它们分在了不同的空隙里，导致漏掉了大量的合法样本。

修正后的完美分步计数：

1. 第一步（捆绑一班）：将一班 3 位同学捆绑为大元素 $X$，内部全排列数为 ${\mathrm{A}}_3^3$。
2. 第二步（排非限制元素组）：此时将大元素 $X$ 与其它班的 5 位同学看作平权的基础元素，这共同的 $1+5=6$ 个元素进行全排列，全排列数为 ${\mathrm{A}}_6^6$。
3. 第三步（二班插空）： 6 个大元素排好后，内部及两端一共会天然暴露出 $6+1=7$ 个空隙。将二班的 2 位同学直接通过插空法注入这 7 个空隙中，排列数为 ${\mathrm{A}}_7^2$。

根据乘法原理，目标基本事件数 $M={\mathrm{A}}_3^3\times {\mathrm{A}}_6^6\times {\mathrm{A}}_7^2$。 代入概率通式： $P=\frac{3!\times 6!\times (7\times 6)}{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}$ 消去公项 $6!$ 与常数 7： $P=\frac{6\times 6}{10\times 9\times 8}=\frac{36}{720}=\frac{1}{20}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相邻限制下的“捆绑法”大元素合成机制；不相邻隔离约束下的“插空法”间隙数配算（空隙数 $=$ 元素数 $+1$）。
2. 核心方法：捆绑插空集成法、古典概型约分消项法。
3. 避坑指南：
   • 在第一种方法里漏掉同空隙相邻的组合：如解析中的自我核验部分，切忌在插空时把两组不同性质的限制元素（一班和二班）割裂开进行二次插空，这会导致漏掉“一班整体与二班某同学紧挨”这一大类合法情况。正确的原则是：先捆绑，再将捆绑后的整体加入没有不相邻要求的阵营中一起排好，最后为有不相邻要求的元素创造统一的空隙阵列。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查组合数学（有限集合上的排列控制结构）的最标准大纲经典选择题，属于中高难度常规技巧题。
2. 结论推广: $k$ 个元素相邻的排列数可用“捆绑法”：先视为一个整体与其余元素排列，再内部全排列。$m$ 个元素不相邻用“插空法”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2021-甲卷文-10 单-排列组合
• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1984-全国文-11 填-不相邻排列计数