2004-重庆理-10 单-双曲线的几何定义

本题导读

本题考查双曲线的几何定义，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左，右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $P$ 在双曲线的右支上，且 $|P{F}_1|=4|P{F}_2|$，则此双曲线的离心率 $e$ 的最大值为 ()

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　　B. $\frac{5}{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\frac{7}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用第一定义解析焦半径：
   • 点 $P$ 在双曲线的右支上，根据双曲线的第一定义，两焦半径之差满足： $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$。
   • 结合已知条件 $|P{F}_1|=4|P{F}_2|$，可建立关于 $|P{F}_2|$ 的方程，用参数 $a$ 分别把两段焦半径表达出来。
2. 利用焦点三角形三边关系建立不等式：
   • 点 $P$ 与左右焦点 $F_1,F_2$ 共同构成了焦点三角形 $△P{F}_1{F}_2$。该三角形的底边为焦距 $|F_1{F}_2|=2c$。
   • 根据三角形任意两边之和大于第三边，得到 $|P{F}_2|+|F_1{F}_2|>|P{F}_1|$（或两边之差小于第三边 $|P{F}_1|-|P{F}_2|<|F_1{F}_2|$，由于 $P,F_1,F_2$ 三点不共线，当 $P$ 位于实轴右顶点时构成边界退化临界态，故可取到等号）。
3. 推导离心率的最值：将用 $a$ 表达的焦半径与 $2c$ 代入几何不等式中，化简便能得到 $c$ 与 $a$ 的比例关系约束，从而锁定 $e=\frac{c}{a}$ 的最大值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：用第一定义求两段焦半径

设半焦距为 $c$，则 $|F_1{F}_2|=2c$。点 $P$ 在右支上，由双曲线第一定义： $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a.$ 又已知 $|P{F}_1|=4|P{F}_2|$，代入得 $3|P{F}_2|=2a$，于是 $|P{F}_2|=\frac{2}{3}a,|P{F}_1|=\frac{8}{3}a.$

第二步：用焦点三角形的三边关系夹逼 $c$

在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，两边之和大于第三边（$P$ 落在实轴上时退化为等号）： $|P{F}_1|+|P{F}_2|\ge |F_1{F}_2|⟹\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}a\ge 2c⟹2c\le \frac{10}{3}a⟹c\le \frac{5}{3}a.$

另一组关系 $|P{F}_1|-|P{F}_2|\le |F_1{F}_2|$ 即 $2a\le 2c$，只能得到 $e\ge 1$。这是双曲线的固有性质，任何双曲线都成立，提供不了上界，求 $e$ 的最大值只能取前一组不等式。

第三步：求离心率的最大值

$\frac{c}{a}\le \frac{5}{3}⟹e\le \frac{5}{3}.$

等号当 $P$ 位于右顶点时取到：此时 $|P{F}_1|=a+c$，$|P{F}_2|=c-a$，由 $a+c=4(c-a)$ 恰得 $c=\frac{5}{3}a$，与上式吻合。

故 $e$ 的最大值为 $\frac{5}{3}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线右支焦半径定义的显式代换规则；焦点三角形三边长度满足的射影度量不等式；离心率通式的范围夹逼。
2. 核心方法：几何定义代换法、多边形两边之和大于第三边控制法。
3. 避坑指南：
   • 盲目选择三边关系导致导出平凡下界：三角形有三组两边之和大于第三边的关系。若错误选择 $|P{F}_2|+|F_1{F}_2|\ge |P{F}_1|$ 只能解出 $c\ge a⟹e\ge 1$，这本就是双曲线的固有属特征，无法提供上界。务必选择让焦距 $2c$ 处于较小端的不等式 $|P{F}_1|+|P{F}_2|\ge |F_1{F}_2|$，才能顺利锁死最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查解析几何中“双曲线核心拓扑性质与不等式融合”的经典大纲压轴选择题，属于中高难度技巧题。
2. 结论推广: 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率 $e=\frac{c}{a}>1$。已知焦半径之比 $\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=k$ 时，可结合定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$ 确定焦半径与 $e$ 的关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-07 填-双曲线的离心率
• 1985-广东理-14 单-双曲线的离心率
• 1986-广东文-29 填-双曲线的离心率