2004-重庆理-07 单-一元二次方程根的分布

本题导读

本题考查一元二次方程根的分布，以及韦达定理的应用。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 一元二次方程 $a{x}^2+2x+1=0$ ($a\ne 0$) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ()

A. $a<0$　　　　B. $a>0$　　　　C. $a<-1$　　　　D. $a>1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求”一正根一负根”的充要条件：两异号实根等价于两根之积小于零。由韦达定理，两根之积 $x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{a}$，故 $\frac{1}{a}<0⟹a<0$（此时 $\Delta =4-4a>0$ 恒成立，无需单独讨论）。记充要条件集合为 $P=\{a\mid a<0\}$。
2. 转换为充分不必要条件：设选项对应集合为 $Q$。若 $Q⊊P$（真子集），则 $Q⟹P$ 成立而 $P⟹Q$ 不成立，$Q$ 即充分不必要条件。
3. 比对选项：在四个选项中找 $(-\infty ,0)$ 的真子集区间。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求有一个正根和一个负根的充要条件 设 $a{x}^2+2x+1=0$ ($a\ne 0$) 的两根为 $x_1,x_2$。两实根异号等价于： $x_1\cdot x_2<0$ 由韦达定理代入系数： $\frac{1}{a}<0⟹a<0$ (注：当 $a<0$ 时，判别式 $\Delta =2^2-4\times a\times 1=4-4a>4>0$ 恒成立，无需附加判别式约束)。

故充要条件为 $a<0$，记其集合为 $P=\{a\mid a<0\}=(-\infty ,0)$。

第二步：判定充分不必要条件 若 $Q⟹P$ 成立而 $P⟹Q$ 不成立，则 $Q$ 是 $P$ 的充分不必要条件，对应集合 $Q$ 是 $P$ 的真子集（$Q⊊P$）。

对各选项：

• (A) $a<0$：对应 $(-\infty ,0)$，即 $P$ 本身，是充要条件，不符合”不必要”；
• (B) $a>0$：对应 $(0,+\infty )$，与 $P$ 无交集，既不充分也不必要；
• (C) $a<-1$：对应 $(-\infty ,-1)⊊(-\infty ,0)$。由 $a<-1$ 能推出 $a<0$，但 $a<0$ 推不出 $a<-1$（如 $a=-0.5$），符合充分不必要条件；
• (D) $a>1$：对应 $(1,+\infty )$，与 $P$ 方向相反，不符合。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：韦达定理判定根的符号（两根异号只需 $\frac{c}{a}<0$）；用集合包含关系判定充分不必要条件（对应真子集）。
2. 核心方法：韦达定理法、集合包含关系法。
3. 避坑指南：
   • 错把充要条件当答案：算出 $a<0$ 后直接选 A，未注意题目要求”充分不必要条件”。
   • 混淆充分与必要的包含方向：“小范围能推出大范围，大范围推不出小范围”。充分不必要条件要求选项范围是充要条件范围的真子集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查一元二次方程根的分布与充要条件的判定，属中低档题。
2. 结论推广: 判断一元二次方程根的分布（根的个数、正负、所在区间），可用判别式 $\Delta$、韦达定理或结合函数图象与零点所在区间端点的函数值符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.17 非对称韦达题型总结
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1958-湖南-02 解-韦达定理作倒数根方程
• 1965-全国-08 解-充要条件证三角形三边
• 1977-山西-06 解-韦达定理与三角