2004-重庆理-05 单-三角函数的诱导公式

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式，以及两角和与差的余弦公式。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） $\sin 163^{\circ }\sin 223^{\circ }+\sin 253^{\circ }\sin 313^{\circ }=$ ()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用诱导公式统一角结构：观察题干中的四个角 $163^{\circ },223^{\circ },253^{\circ },313^{\circ }$。可以发现它们都可以通过与 $180^{\circ }$ 或 $270^{\circ }$（或 $90^{\circ }$ 的整数倍）建立联系，转化为互余或互补的锐角关系。例如以 $\theta =17^{\circ }$ 或 $\alpha =73^{\circ }$ 为基准进行统一。
2. 逆用两角和差公式：将各变项转换为同一基准角的正弦与余弦乘积形式，其代数特征极像 $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha -\beta )$，直接合并求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

为了揭示四个大角之间的内在规律，我们利用三角函数的诱导公式，将所有项统一向第一象限的锐角 $17^{\circ }$ （或与之互余的 $73^{\circ }$）实施平移转换：

• 对第一项 $\sin 163^{\circ }$ 进行转换： $\sin 163^{\circ }=\sin (180^{\circ }-17^{\circ })=\sin 17^{\circ }$
• 对第二项 $\sin 223^{\circ }$ 进行转换： $\sin 223^{\circ }=\sin (180^{\circ }+43^{\circ })=-\sin 43^{\circ }=\sin (270^{\circ }-47^{\circ })\dots$ 为保持角度基准整齐，选用 $180^{\circ }$ 的变形： $\sin 223^{\circ }=\sin (180^{\circ }+43^{\circ })=-\sin 43^{\circ }=-\cos (90^{\circ }-43^{\circ })=-\cos 47^{\circ }$ 也可以直接变换到 $\alpha =73^{\circ }$ 的视角。我们统一采用以 $180^{\circ }$ 和 $360^{\circ }$ 为参照：
  • $\sin 163^{\circ }=\sin (180^{\circ }-17^{\circ })=\sin 17^{\circ }$
  • $\sin 223^{\circ }=\sin (180^{\circ }+43^{\circ })=-\sin 43^{\circ }=-\cos 47^{\circ }$
  为了使四个角的目标基准更整齐，可以统一使用关于 $180^{\circ }$ 和 $270^{\circ }$ 互余关系：
  • $\sin 163^{\circ }=\sin (90^{\circ }+73^{\circ })=\cos 73^{\circ }$
  • $\sin 223^{\circ }=\sin (180^{\circ }+43^{\circ })=-\sin 43^{\circ }=-\cos 47^{\circ }$
  • $\sin 253^{\circ }=\sin (180^{\circ }+73^{\circ })=-\sin 73^{\circ }$
  • $\sin 313^{\circ }=\sin (360^{\circ }-47^{\circ })=-\sin 47^{\circ }$

将上述四项化简结果代入原待求式中，注意符号相乘相消： $\sin 163^{\circ }\sin 223^{\circ }+\sin 253^{\circ }\sin 313^{\circ }$ $=\cos 73^{\circ }\times (-\cos 47^{\circ })+(-\sin 73^{\circ })\times (-\sin 47^{\circ })$ $=-\cos 73^{\circ }\cos 47^{\circ }+\sin 73^{\circ }\sin 47^{\circ }$

为了便于套用公式，提取负号进行整体代数变形： $=-(\cos 73^{\circ }\cos 47^{\circ }-\sin 73^{\circ }\sin 47^{\circ })$

逆用两角和的余弦公式 $\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )$： $=-\cos (73^{\circ }+47^{\circ })$ $=-\cos 120^{\circ }$

根据诱导公式求特殊角的余弦值： $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 因此，最终化简结果为： $=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：各象限大角利用大纲诱导公式向第一象限锐角的平移变换；两角和差余弦通式的逆用变形。
2. 核心方法：诱导公式角变换法、和差公式逆向整体合并法。
3. 避坑指南：
   • 变换过程中正负号判定失误：在化简形如 $\sin 223^{\circ }$（第三象限，正弦为负）和 $\sin 253^{\circ }$（第三象限，正弦为负）等大角时，必须严格套用“奇变偶不变，符号看象限”的法则。两个负项相乘，负负得正，极易因为粗心把符号算错。
   • 错套两角差的余弦公式：注意括号内部是减号 $\cos 73^{\circ }\cos 47^{\circ }-\sin 73^{\circ }\sin 47^{\circ }$，逆向合并时对应的应当是两角和的余弦公式，防止错用成两角差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查三角恒等变形（齐次三角代数系统）的大纲经典选择题第五题，属于中低难度常规题。
2. 结论推广: 本题涉及的化简模型属于通用的齐次正余弦正交控制模型。一般地，对于满足特殊代数差值的角，形如 $\sin (A+\alpha )\sin (A+\beta )+\sin (B+\alpha )\sin (B+\beta )$ 的代数式，通过正交齐次变换，均可完整等价映射为独立参数的单余弦运算 $\cos (\alpha \pm \beta )$ 的离散表达。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1977-山西-05 解-三角恒等式证明
• 1986-广东理-22 单-三角函数的奇偶性
• 1993-新高考理-08 单-三角恒等变形求值