2004-重庆理-04 单-分式不等式的解法

本题导读

本题考查分式不等式的解法，以及换元法与因式分解。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 不等式 $x+\frac{2}{x+1}>2$ 的解集是 ()

A. $(-1,0)\cup (1,+\infty )$　　　　　　　　　B. $(-\infty ,-1)\cup (0,1)$

C. $(-1,0)\cup (0,1)$　　　　　　　　　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（常规通分法）：将常数 2 移项至左侧，使得右侧为 0。对左侧多项式以 $(x+1)$ 为公分母实施通分，将其化为 $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ 的标准分式商式，进而等价转化为整式乘积不等式 $P(x)\cdot Q(x)>0$（同时满足分母 $Q(x)\ne 0$）进行求解。
2. 方法二（整体换元法）：观察分母为 $x+1$，若将前项 $x$ 凑成 $x+1$，则原式可变形为 $(x+1)+\frac{2}{x+1}>3$。令 $t=x+1$，不等式退化为简单的对勾函数分式不等式 $t+\frac{2}{t}>3$，可大幅精简运算层级。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：常规移项通分法 原不等式为： $x+\frac{2}{x+1}>2$ 将右侧的常数 2 移项至左侧： $x-2+\frac{2}{x+1}>0$ 以 $(x+1)$ 为公分母对左端进行整体通分： $\frac{(x-2)(x+1)+2}{x+1}>0$ 展开分子多项式并合并同类项： $\frac{x^2-x-2+2}{x+1}>0⟹\frac{x^2-x}{x+1}>0$ 对分子实施因式分解提取公因式： $\frac{x(x-1)}{x+1}>0$

根据分式不等式与整式乘积不等式的同解变形原理（商的符号与积的符号一致，且分母不为零），上式等价于： $x(x-1)(x+1)>0\text{且}x+1\ne 0$

利用“穿根法”（数轴标根法），寻找三个零点分界点： $x_1=-1,x_2=0,x_3=1$。 由右至左、自上而下穿线，要使乘积严格大于 0，取图象位于数轴上方的区间： $-1<x<0\text{或}x>1$

用区间形式表达，原不等式的解集为 $(-1,0)\cup (1,+\infty )$。

解法二：自变量拼凑换元法 原不等式两边同时加上 1，以便在左端构造出与分母相同的整体结构： $x+1+\frac{2}{x+1}>2+1⟹(x+1)+\frac{2}{x+1}>3$ 设中间置换变量 $t=x+1$ （由于分母约束， $t\ne 0$），则不等式化简为： $t+\frac{2}{t}>3$ 将 3 移项并通分： $\frac{t^2-3t+2}{t}>0⟹\frac{(t-1)(t-2)}{t}>0$ 该分式商式等价于整式乘积不等式： $t(t-1)(t-2)>0$ 利用穿根法解得 $t$ 的取值范围为： $0<t<1\text{或}t>2$

将 $t=x+1$ 回代到上述两个解集区间内：

1. 当 $0<x+1<1$ 时，各项同时减 1 得： $-1<x<0$；
2. 当 $x+1>2$ 时，移项得： $x>1$。

综合可得，解集为 $(-1,0)\cup (1,+\infty )$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式的一般化通分变形；分式商式向整式乘积式的同解转化规则；数轴标根法（穿根法）在多零点不等式中的应用。
2. 核心方法：移项通分化简法、整体变量换元法。
3. 避坑指南：
   • 两边盲目乘以分母去分母导致符号出错：很多学生习惯了解方程的思维，直接在不等式两边乘以 $(x+1)$ 得到 $x(x+1)+2>2(x+1)$。这是解析几何与代数中最严重的笔误。因为我们不知道 $(x+1)$ 的正负号。如果 $x+1<0$，两边同乘以它需要翻转不等号方向。因此，分式不等式切忌直接去分母，必须移项使右端为 0 后再通分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查高次分式不等式求解的标准大纲选择题第四题，属于中低难度常规题。
2. 结论推广: 解分式不等式，先移项通分化为 $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$（或 $<0$），再转化为整式不等式 $P(x)Q(x)>0$（注意 $Q(x)\ne 0$）用穿根法求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形
• 1988-广东理-14 单-不等式的同解变形
• 1989-广东文-10 单-不等式的解集