2004-重庆理-03 单-圆的一般方程与标准方程的转化

本题导读

本题考查确定圆心坐标的方法，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 圆 $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ 的圆心到直线 $x-y=1$ 的距离为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解圆心坐标：已知圆的一般方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，其圆心坐标公式为 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。亦可通过对 $x$ 和 $y$ 两个维度分别实施完全平方配方，转化为标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$，从而直接读取圆心 $(a,b)$。
2. 计算点线距离：将求得的圆心坐标作为已知定点，目标直线方程化为一般式 $x-y-1=0$，直接套用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 进行数值控算。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解圆的圆心坐标 方法一（配方法）： 已知圆的一般方程为： $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ 将含 $x$ 的项与含 $y$ 的项分别归类重组，并将常数项移至等号右侧： $(x^2-2x)+(y^2+4y)=-3$ 分别对两部分实施完全平方配方（左端加上一次项系数一半的平方，右端进行等值补偿）： $(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=-3+1+4$ $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=2$ 由此标准方程可直接读取该圆的圆心坐标为： $M(1,-2)$

方法二（公式法）： 对比圆的一般方程通式，其中 $D=-2,E=4$。 则圆心坐标为： $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)=\left(-\frac{-2}{2},-\frac{4}{2}\right)=(1,-2)$

第二步：计算圆心到直线的距离 将目标直线方程 $x-y=1$ 移项化为标准一般式： $x-y-1=0$ 此时直线系数为 $A=1,B=-1,C=-1$。

将圆心坐标 $M(1,-2)$ 代入点到直线的距离公式中： $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ $d=\frac{|1\times 1+(-1)\times (-2)+(-1)|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}$ $d=\frac{|1+2-1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般方程与标准方程的互化；点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 的准确应用。
2. 核心方法：二元完全平方配方法、空间点线解析射影法。
3. 避坑指南：
   • 配方时常数项正负号反转出错：在配方过程中，原方程的常数 3 移到右侧必须变为 $-3$，且左侧加上了 $1$ 和 $4$，右侧也要同时加上，防止两端不平衡导致半径算错（虽然本题不考查半径，但要养成严谨习惯）。
   • 直线一般式常数项符号写错：在使用距离公式前，必须先把直线写成 $Ax+By+C=0$ 的形式，即把等号右侧的 1 移项变为 $-1$。若直接将右侧的 1 当作 $C$ 代入公式，分子极易算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查解析几何中“圆与直线位置关系”的最经典大纲基础题，属于低难度送分题。
2. 结论推广: 圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心为 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。直线 $Ax+By+C=0$ 与圆的位置关系由圆心到直线的距离 $d=\frac{|A(-\frac{D}{2})+B(-\frac{E}{2})+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 与半径 $R$ 比较：$d>R$ 相离、$d=R$ 相切、$d<R$ 相交。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1982-全国文-07 解-定点定比的轨迹方程