2004-重庆文-14 填-基本不等式最值

本题导读

本题考查基本不等式的应用，重点在于换元后利用定和求积的最值。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 已知 $\frac{5}{x}+\frac{3}{y}=2$（$x>0,y>0$），则 $xy$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $u=\frac{5}{x}$，$v=\frac{3}{y}$，则 $u+v=2$，$u,v>0$。
2. 由 $(u-v{)}^2⩾0$ 得 $uv⩽1$。
3. $xy=\frac{15}{uv}⩾15$，等号 $u=v=1$，即 $x=5,y=3$。

✅【答案】

Success

$15$

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=\frac{5}{x}$，$v=\frac{3}{y}$，则 $u>0,v>0$ 且 $u+v=2$.由 $(u-v{)}^2⩾0$ 得 $uv⩽{\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2=1$.又 $xy=\frac{15}{uv}$，故 $xy⩾15$，当且仅当 $u=v=1$，即 $x=5,y=3$ 时取等号，所以 $xy$ 的最小值为 $15$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式最值
2. 核心方法：令 $u=\frac{5}{x},v=\frac{3}{y}$，则 $u+v=2$，$uv⩽1$，$xy=\frac{15}{uv}⩾15$，等号 $x=5,y=3$
3. 避坑指南：$u+v=2$ 时 $uv⩽1$（均值）；$xy=\frac{15}{uv}$，$uv$ 最大时 $xy$ 最小，勿直接对 $x,y$ 用均值出错

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于基本不等式，教材”不等式”
2. 结论推广: 一般化：$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c$ 时 $xy⩾\frac{(\sqrt{ab}{)}^2}{\cdots }$，或换元 $u,v$ 用均值；换元后 $u+v$ 为定值，$uv$ 有最大，$xy$ 有最小

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2006-天津文-15 填-基本不等式求最值
• 2006-陕西文-07 单-基本不等式求最值
• 2010-重庆卷文-12 填-基本不等式最值