2004-辽宁卷-13 填-圆的一般方程与标准方程的互化

本题导读

本题考查点到直线的距离公式，以及直线与圆相切的几何性质。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 若经过点 $P(-1,0)$ 的直线与圆 $x^2+y^2+4x-2y+3=0$ 相切，则此直线在 $y$ 轴上的截距是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑（化简圆的方程）：已知圆的一般方程为 $x^2+y^2+4x-2y+3=0$．利用配方法将其重构为标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$，从而精确读出圆心坐标 $C(a,b)$ 与半径 $R$ 的值。
2. 第二步逻辑（构建过定点的直线方程）：已知直线过定点 $P(-1,0)$．在不考虑斜率不存在的特殊情形下（本题可优先检验 $x=-1$ 是否为切线，若代入不相切，则斜率必然存在），设直线的点斜式方程为 $y-0=k(x+1)⟹kx-y+k=0$．
3. 第三步逻辑（应用相切性质求解斜率）：根据平面几何性质，直线与圆相切的充要条件是圆心 $C$ 到该直线的垂直距离 $d$ 严格等于半径 $R$．套用点到直线的距离公式建立关于斜率 $k$ 的代数方程，解出 $k$ ．
4. 第四步逻辑（计算 $y$ 轴截距）：在直线的点斜式方程中令 $x=0$，此时求得的 $y$ 值即为直线在 $y$ 轴上的截距，输出最终填空结果。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：化简圆的方程提取圆心与半径 已知圆的一般方程为： $x^2+y^2+4x-2y+3=0\text{（式1）}$ 对（式1）中的 $x$ 变量项与 $y$ 变量项分别进行完全平方公式配方： $\left(x^2+4x+4\right)-4+\left(y^2-2y+1\right)-1+3=0\text{（式2）}$ 将常数项移到等号右侧合并： $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=4+1-3⟹(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=2\text{（式3）}$

  由标准方程（式3）可直接读出该圆的核心几何特征参数： $\text{圆心坐标 }C(-2,1),\text{半径 }R=\sqrt{2}\text{（式4）}$

• 第二步：设置切线方程并核验特殊边界 直线过定点 $P(-1,0)$．

  • 特殊边界核验：若直线的斜率不存在，则直线方程为垂直于 $x$ 轴的直线 $x=-1$． 将 $x=-1$ 对应的垂直距离代入圆心 $C(-2,1)$，其到直线的距离为 $d=|-1-(-2)|=1$． 由于 $d=1\ne R=\sqrt{2}$，说明垂直直线 $x=-1$ 与该圆不相切，故切线的斜率必然存在。

  设切线的斜率为 $k$，应用点斜式写出直线方程： $y-0=k[x-(-1)]⟹y=k(x+1)\text{（式5）}$ 将其等价变形为一般式方程，以便于套用距离公式： $kx-y+k=0\text{（式6）}$

• 第三步：利用点线距离公式求解斜率 $k$ 根据直线与圆相切的几何性质，圆心 $C(-2,1)$ 到直线（式6）的距离 $d$ 必须严格等于圆的半径 $R=\sqrt{2}$． 套用点到直线的距离公式： $d=\frac{|k\times (-2)-1+k|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{2}\text{（式7）}$ 对（式7）的分子内部进行合并同类项化简： $\frac{|-k-1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}⟹\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}\text{（式8）}$ 将方程（式8）两边同时取平方以消除绝对值号与根号： $\frac{(k+1{)}^2}{k^2+1}=2⟹k^2+2k+1=2(k^2+1)\text{（式9）}$ 对（式9）右侧展开并移项合并： $k^2+2k+1=2k^2+2⟹k^2-2k+1=0\text{（式10）}$

  观察可见，方程（式10）是一个完美的完全平方式： $(k-1{)}^2=0⟹k-1=0⟹k=1\text{（式11）}$ 由此唯一确定切线的斜率严格为 1．

• 第四步：求解直线在 $y$ 轴上的截距 将已证的斜率 $k=1$（式11）代回直线的一般式方程（式6）中： $1\times x-y+1=0⟹x-y+1=0⟹y=x+1\text{（式12）}$

  根据直线截距的代数定义，直线在 $y$ 轴上的截距，即为直线与 $y$ 轴交点的纵坐标（令 $x=0$ 时的 $y$ 值）。 将 $x=0$ 代入直线斜截式（式12）中： $y=0+1=1$ 因此，该切线在 $y$ 轴上的截距为 1．

填空题最终答案为： 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般对方程配方技巧；圆心到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；直线在坐标轴上截距的初等概念。
2. 核心方法：几何法（$d=R$ 判别法）。
3. 避坑指南：
   • 在求出直线方程 $y=x+1$ 后，极其容易将‘截距’顺手写成点坐标 $(0,1)$ 或者是误写成长度 1 的绝对值：这是解析几何填空题最普遍的概念性笔误扣分点。请牢记截距铁律：直线的截距不是距离，它的本质是一个‘带有正负号的代数实数’。如果直线交 $y$ 轴于 $(0,-5)$，则截距是 $-5$ 而不是 $5$。本题截距为 1，直接填写数字 1 即可，严禁填写坐标对形式。
   • 设点斜式方程前，虽然本题斜率不存在的情形被排除了，但在解答题中必须无条件书写“核验斜率不存在”的步骤，否则在高考踩点给分标准中会因逻辑不严密被扣除 1 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材解析几何“直线与圆的位置关系”章节的课后标准经典训练题，是高考考查坐标法联立运算基本功最标准的低档填空题。
2. 结论推广: 求过圆外一点的切线方程，可设切线斜率 $k$，由圆心到直线的距离等于半径列出关于 $k$ 的方程求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切