2004-辽宁卷-12 单-排列组合与计数原理

本题导读

本题考查排列组合与计数原理，以及分类加法计数原理。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人左右相邻，那么不同排法的种数是 ()

A. 234　　　　　　B. 346　　　　　　C. 350　　　　　　D. 363

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（消元可用座位集合）：
   • 前排：总共 11 个座位，中间 3 个不能坐。由于 $(11-3)/2=4$，意味着前排被严格截断为独立的左、右两组，每组各含有 4 个连续的可坐座位。
   • 后排：总共 12 个座位，没有任何特殊限制，即含有 12 个连续的可坐座位。
2. 第二步逻辑（确定总选座方案数，暂不考虑不相邻约束）：实际可用的总座位数为 $4+4+12=20$ 个。从中任意安排 2 人就座的无约束排列种数为 $A_{20}^2=20\times 19=380$ 种。
3. 第三步逻辑（运用对立面排除相邻情形）：题目要求“这 2 人左右相邻”．其对立面即为“这 2 人在同一排且发生了左右相邻就座”。我们只需计算出所有可能的相邻物理座位对（捆绑作为一个整体），乘以 2 人的全排列，最后从总方案数 380 中整体扣除，即可快速锁定答案。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：剔除无效座位，划分可用连续座位区间

  • 前排：原有 11 个座位。由于中间的 3 个座位被硬性禁用，将其扣除后剩余 8 个可坐座位。因为禁用的是“正中间”，由对称性，前排被划分成两段互不连通的独立区间： $\text{前排左侧段}=4\text{ 个连续座位},\text{前排右侧段}=4\text{ 个连续座位}\text{（式1）}$
  • 后排：没有任何特殊禁用限制，完整保留一个连续区间： $\text{后排完整段}=12\text{ 个连续座位}\text{（式2）}$

  实际合法可用的总座位数为： $4+4+12=20$ 个。

• 第二步：计算不考虑相邻约束时的总排列种数 $N_{\text{total}}$ 在 20 个合法座位中，任意安排 2 个人进行就座（考虑人的顺序差异，属于排列问题）： $N_{\text{total}}=A_{20}^2=20\times 19=380\text{ 种}\text{（式3）}$

• 第三步：计算违背规则的“2人左右相邻”的排列种数 $N_{\text{adjacent}}$ 2 人发生“左右相邻”只能发生在同一个连续的座位区间内部。下面分区间统计可能发生相邻的座位对数：

  • 前排左侧段（共 4 个座位）：含有 $(4-1)=3$ 对相邻位置；
  • 前排右侧段（共 4 个座位）：含有 $(4-1)=3$ 对相邻位置；
  • 后排完整段（共 12 个座位）：含有 $(12-1)=11$ 对相邻位置．

  空间内，物理上相互连通、可能引发相邻冲突的座位对数总计为： $\text{总相邻座位对数}=3+3+11=17\text{ 对}\text{（式4）}$ 对于选定的每一对相邻座位，由于安排的 2 个人彼此不同，存在有顺序的互换全排列 $A_2^2=2$ 种。 由此求出所有违规相邻的就座方案数为： $N_{\text{adjacent}}=17\times A_2^2=17\times 2=34\text{ 种}\text{（式5）}$

• 第四步：利用间接排除法作差输出最终解 根据对立事件减法原理，符合题目“这 2 人不左右相邻”的合法排法种数为： $N=N_{\text{total}}-N_{\text{adjacent}}=380-34=346\text{ 种}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：连续 $n$ 个座位内部含有 $(n-1)$ 对相邻因子的计数性质；特殊元素位置的区间割裂分析；间接排除法（$N=\text{总}-\text{反}$）运算的应用。
2. 核心方法：正难则反间接法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在数相邻座位对数时发生少算或多算的低级数数笔误：例如误以为前排中间空出的 3 个座位的边缘还能与两侧挨着相邻，或者是错把后排 12 个座位的相邻对数算成了 12 或者是 10。请牢记线状区间相邻对数铁律：对于一排连续且相互挨着的 $n$ 个空位，能够形成‘左右紧挨着’的物理座位对数严格恒等于 $(n-1)$，绝对不存在任何多余分支。本题中前排两段分别是 $4-1=3$ 对，后排是 $12-1=11$ 对，在草稿纸上强行写出这三个减法算式再加和，可确保基础数据万无一失。
   • 采用排除法时，千万不要忘记把座位对数 17 乘以 2（因为 2 个人坐在两个挨着的座位上有“甲左乙右”和“乙左甲右” 2 种坐法）。漏掉乘以 2 会导致算出 $380-17=363$ 而误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材排列组合“有限限制条件的排列应用题”章节的核心期末综合压轴题，是高考考查分类讨论严密性与逆向间接思维最经典的圆满高档选择题。
2. 结论推广: 计数问题中“互不相邻”类，常用“插空法”或“总数减相邻数”。如两人不相邻的坐法 = 总坐法 − 两人相邻的坐法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）
• 1985-广东文-20 单-受限排列计数