2004-辽宁卷-09 单-双曲线的几何定义

本题导读

本题考查双曲线的几何定义，以及两点间距离公式。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 已知点 $F_1(-\sqrt{2},0)$、 $F_2(\sqrt{2},0)$，动点 $P$ 满足 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2$.当点 $P$ 的纵坐标是 $\frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 到坐标原点的距离是 ()

A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（通过几何定义锁定动点轨迹）：已知两定点为 $F_1(-\sqrt{2},0),F_2(\sqrt{2},0)$，它们之间的距离（焦距）为 $2c=2\sqrt{2}⟹c=\sqrt{2}$．动点满足 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2$．根据双曲线的几何定义，动点到两定点的距离之差为常数 $2a=2⟹a=1$．由于是没有加绝对值号的净差值且 $|P{F}_2|>|P{F}_1|$，说明动点 $P$ 距离左焦点 $F_1$ 更远，距离右焦点 $F_2$ 更近，因此动点 $P$ 的轨迹被确定在双曲线的左支上。
2. 第二步逻辑（写出标准方程并求解坐标）：根据参数 $a=1,c=\sqrt{2}$，利用恒等性质方程 $b^2=c^2-a^2=2-1=1$ 写出焦点在 $x$ 轴上的双曲线方程。由于在左支，横坐标必须满足 $x\le -1$．将已知纵坐标 $y=\frac{1}{2}$ 代入方程中，解出横坐标 $x$ 的精确值。
3. 第三步逻辑（求解点到原点距离）：动点 $P$ 到坐标原点的距离平方为 $d^2=x^2+y^2$．直接将求得的坐标分量代入，通过算术开平方输出最终解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 运用双曲线几何定义确定动点 $P$ 的标准方程与分支特征： 已知两个定点坐标为 $F_1(-\sqrt{2},0)$ 和 $F_2(\sqrt{2},0)$． 两点关于原点对称分布在 $x$ 轴上，其对应的半焦距为： $c=\sqrt{2}⟹c^2=2\text{（式1）}$

  动点 $P$ 满足的几何方程为： $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2\text{（式2）}$ 根据双曲线的解析定义（平面内到两个定点的距离之差的绝对值为常数 $2a$ 的动点轨迹是双曲线），对比（式2）可知： $2a=2⟹a=1⟹a^2=1\text{（式3）}$ 由于焦距与实轴长满足 $2c=2\sqrt{2}>2a=2$，轨迹确为双曲线。 根据椭圆/双曲线参数性质，短轴虚轴平方恒等性质 $b^2$ 满足： $b^2=c^2-a^2=2-1=1\text{（式4）}$

  同时，仔细观察（式2）的代数结构，发现其没有施加外侧绝对值号，且等号右侧为正数 2。 这导出刚性序关系： $|P{F}_2|=|P{F}_1|+2>|P{F}_1|$． 这表明动点 $P$ 到右焦点 $F_2$ 的距离严格大于到左焦点 $F_1$ 的距离。在几何空间中，这意味着点 $P$ 必须位于原点左侧，即动点 $P$ 的拓扑轨迹唯一栖息在该双曲线的左半支上，其横坐标域被死死限制为： $x\le -a=-1\text{（式5）}$ 结合（式3）与（式4），写出该双曲线左支的完整代数方程： $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{1}=1⟹x^2-y^2=1(\text{且 }x\le -1)\text{（式6）}$

• 代入已知纵坐标求解点 $P$ 的横坐标： 题目给定当点 $P$ 的纵坐标为 $\frac{1}{2}$ 时，即： $y=\frac{1}{2}\text{（式7）}$ 将（式7）代入左支曲线方程（式6）中： $x^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1⟹x^2-\frac{1}{4}=1\text{（式8）}$ 移项化简（式8）： $x^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\text{（式9）}$ 对（式9）两边取平方根，结合左支刚性约束条件（式5） $x\le -1$，必须截断并舍去正根，唯一保留负根： $x=-\frac{\sqrt{5}}{2}\text{（式10）}$

• 计算点 $P$ 到坐标原点的物理距离： 设点 $P(x,y)$ 到坐标原点 $O(0,0)$ 的欧氏距离为 $d$． 根据两点间距离公式（或勾股定理）： $d=\sqrt{x^2+y^2}\text{（式11）}$ 直接将已求得的横坐标平方项 $x^2=\frac{5}{4}$（式9）与纵坐标平方项 $y^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ 代入距离公式（式11）中： $d=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线第一几何定义的无绝对值精细化分域；实轴、虚轴与焦距恒等性质方程 $b^2=c^2-a^2$ 的换算；平面两点间欧氏距离公式。
2. 核心方法：几何定义规约法、坐标代入消元法。
3. 避坑指南：
   • 本题最大的思维陷阱在于：很多学生由于粗心，误将 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2$ 当成了左支，或者把横坐标的负号搞错：虽然本题最终求的是“点 $P$ 到原点的距离 $d=\sqrt{x^2+y^2}$”，由于公式中 $x$ 和 $y$ 均以平方项的形式参与计算，无论 $x$ 取 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 还是 $-\frac{\sqrt{5}}{2}$，其平方均严格等于 $\frac{5}{4}$，对最终的算术结果没有造成直接破坏。但是，如果在解答题或填空压轴题中考查点 $P$ 的向量坐标或直线方程，由于没有注意到 $|P{F}_2|>|P{F}_1|⟹x\le -1$ 这一方向性恒等性质，错写成正根，将会导致整个题目全盘皆输。请务必牢记口诀：‘减去谁的距离小，分支就向谁靠拢’（本题减去 $|P{F}_1|$ 结果为正，说明 $|P{F}_1|$ 较小，点 $P$ 靠拢左焦点 $F_1$，故为左支），通过多花 1 秒钟写明分支范围，可确保解析几何逻辑无懈可击。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材解析几何中“双曲线的定义与标准方程”章节的课后标配巩固题，是高考考查对圆锥曲线定义深度理解与坐标基础运算能力最经典的中档选择题。
2. 结论推广: 一般地，设二维平面上存在两个等轴焦点 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$．若动点满足非绝对值形式的单支度量方程 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2a(c>a>0)$．根据双曲线的射影恒等性质原理，该动点到原点 $O$ 的几何距离 $d$，其代数平方图形恒满足严格的参数线性组合： $d^2=a^2+b^2+2y^2=c^2+2y^2$。这意味着，双曲线单支上的动点到中心原点的距离，在数学本质上完整消元，其数值完全与横坐标的长短轴拆分无关，唯一由焦距参量 $c$ 与该点的纵坐标高度 $y$ 严格确定控制： $d=\sqrt{c^2+2y^2}$．本题中 $c=\sqrt{2}⟹c^2=2$，纵坐标 $y=\frac{1}{2}⟹y^2=\frac{1}{4}$，直接带入此推广恒等性质公式可实现： $d=\sqrt{2+2\times \frac{1}{4}}=\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$ ［此处推广公式针对等轴标准双曲线进行规约，本题数据代入标准距离公式 $d=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(a^2+y^2)+y^2}$ 同样构成该图形演化］。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程
• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程