2004-辽宁卷-03 单-空间中直线与平面的位置关系

本题导读

本题考查平面与平面的位置关系，以及充要条件的判定定理。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 已知 $\alpha$、 $\beta$ 是不同的两个平面，直线 $a\subset \alpha$，直线 $b\subset \beta$，命题 $p$: $a$ 与 $b$ 无公共点；命题 $q$: $\alpha \parallel \beta$.则 $p$ 是 $q$ 的 ()

A. 充分而不必要的条件　　　　　　　B. 必要而不充分的条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要的条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定充分性 $p⟹q$：$a$ 与 $b$ 无公共点，它们可能平行也可能异面。构造反例说明此时 $\alpha$ 与 $\beta$ 可能相交，则充分性不成立。
2. 判定必要性 $q⟹p$：若 $\alpha \parallel \beta$，由面面平行的性质，两平面内任意两直线不可能有公共点，故 $p$ 恒成立，必要性成立。
3. 综合结论：$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 充分性判定（考察 $p⟹q$） 命题 $p$：两个不同平面内的直线 $a$ 与 $b$ 无公共点。 构造反例：设平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，交线为 $l$（即 $\alpha \cap \beta =l$）。

  • 在 $\alpha$ 内取直线 $a\parallel l$；
  • 在 $\beta$ 内取直线 $b$，使 $b\perp l$ 且与 $l$ 相交。

  此时 $a$ 与 $l$ 无交点，$b$ 与 $l$ 交于一点，故 $a$ 与 $b$ 无公共点（$a$ 与 $b$ 异面），满足 $p$； 但 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，不满足 $\alpha \parallel \beta$（$q$ 不成立）。 故由 $p$ 推不出 $q$，充分性不成立。

• 必要性判定（考察 $q⟹p$） 若 $\alpha \parallel \beta$，两平面无公共点： $\alpha \cap \beta =\varnothing \text{（式1）}$ 由题意： $a\subset \alpha ,b\subset \beta \text{（式2）}$

  假设 $a$ 与 $b$ 有公共点 $P$，则： $P\in a\text{且}P\in b\text{（式3）}$ 结合（式2）： $P\in \alpha \text{且}P\in \beta ⟹P\in (\alpha \cap \beta )\text{（式4）}$ 这与（式1）矛盾。故 $a$ 与 $b$ 无公共点，$p$ 恒成立，必要性成立。

• 结论 综上，$p$ 是 $q$ 的必要而不充分条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间异面直线的定义与性质；面面平行时两平面内直线的位置关系；充要条件的判定。
2. 核心方法：反例构造法。
3. 避坑指南：
   • 判断充分性时可借助长方体模型：画长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$。取平面 $\alpha$ 为侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$，直线 $a$ 为棱 $A{A}_1$；取平面 $\beta$ 为底面 $ABCD$（两平面相交，不满足 $q$），直线 $b$ 为棱 $BC$。则 $A{A}_1$ 与 $BC$ 是异面直线、无公共点（满足 $p$），说明 $p$ 推不出 $q$，可排除 A、C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查直线与平面、平面与平面平行的概念辨析，属中档题。
2. 结论推广: 两条直线没有公共点，可能是异面直线，也可能是平行直线，需结合其他条件判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题
• 1986-广东文-25 单-空间命题的真假