2004-福建理-20 解-等差等比数列

本题导读

本题考查数列在实际应用题中的建模。核心在于数列求和公式法、不等式变形与对数化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 某企业 2003 年的纯利润为 $500$ 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 $20$ 万元；今年初该企业一次性投入资金 $600$ 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 $n$ 年（今年为第一年）的利润为 $500\left(1+\frac{1}{2^n}\right)$ 万元（$n$ 为正整数）.

(1)设从今年起的前 $n$ 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 $A_n$ 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 $B_n$ 万元（须扣除技术改造资金），求 $A_n$、 $B_n$ 的表达式；

(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建未改造方案模型 $A_n$（等差数列）：
   • 2003 年纯利润为 500 万元。从今年（第 1 年）开始，每年比上一年减少 20 万元。
   • 今年（第 1 年）的利润为 $500-20=480$ 万元；第 2 年为 $480-20=460$ 万元。
   • 该方案各年利润构成首项 $a_1=480$，公差 $d=-20$ 的等差数列。前 $n$ 年累计纯利润 $A_n$ 即为其前 $n$ 项和，直接套用等差数列求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 化简。
2. 构建改造方案模型 $B_n$（等比复合数列）：
   • 技术改造后，第 $n$ 年未扣除改造成本的利润为 $a_n^{\prime }=500\left(1+\frac{1}{2^n}\right)=500+500\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$。
   • 其前 $n$ 年累计和可以通过拆项法分别求和：常数项 500 累加 $n$ 次得到 $500n$；几何项 $500\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 是首项为 250，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，套用等比求和公式。
   • 切记边界条件：最终的 $B_n$ 必须无条件扣除今年初一次性投入的 $600$ 万元技术改造资金。
3. 求解效益对比不等式（第二问）：
   • 列出目标控制不等式 $B_n>A_n$。
   • 将第一问求出的两个代数多项式代入并进行移项合并，消去二次项与高维系数，将其化简为标准的指数不等式形式 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n<\text{项}$。
   • 结合指数函数的单调性，求出正整数 $n$ 的最小满足解。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) 至少经过 $4$ 年

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $A_n$、 $B_n$ 的表达式

• 一、 控算不进行技术改造的累计纯利润 $A_n$： 依题意，不进行技术改造时，各年的纯利润构成等差数列，记为 $\{a_n\}$． 因为 2003 年纯利润为 500 万元，从今年（第 1 年）起每年比上一年减少 20 万元，所以： 今年（第 1 年）的纯利润为： $a_1=500-20=480$ 万元； 公差为： $d=-20$． 则前 $n$ 年的累计纯利润 $A_n$ 为该等差数列的前 $n$ 项和： $A_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}=\frac{n[2\times 480+(n-1)(-20)]}{2}$ $A_n=n[480-10(n-1)]=n(480-10n+10)=490n-10n^2$

• 二、 控算进行技术改造后的累计纯利润 $B_n$： 依题意，技术改造后第 $n$ 年的利润预测为 $500\left(1+\frac{1}{2^n}\right)$ 万元． 前 $n$ 年在未扣除技术改造资金情况下的累计利润总和为： ${\sum }_{k=1}^{n}500\left(1+\frac{1}{2^k}\right)={\sum }_{k=1}^{n}500+500{\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^k$ 第一部分常数求和为： ${\sum }_{k=1}^{n}500=500n$； 第二部分为首项 $1/2$，公比 $1/2$ 的标准等比数列求和： ${\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{\frac{1}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{1-\frac{1}{2}}=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 由于总方案要求必须一次性扣除今年初投入的技术改造资金 600 万元，因此综合代数式为： $B_n=500n+500\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right]-600$ 展开并合并常数项： $B_n=500n+500-500\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n-600=500n-500\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n-100$

综上所述，求得的代数表达式完整为： $A_n=490n-10n^2$ $B_n=500n-500\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n-100$

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（2）求解技术改造见效所需的最少发展年限 根据题意，要使进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润，必须满足严格的代数不等式： $B_n>A_n$ 将第（1）问求得的解析式完整代入该方程中： $500n-500\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n-100>490n-10n^2$ 将所有项移到不等式的左侧，进行合并同类项整理： $10n^2+(500n-490n)-100-500\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n>0$ $10n^2+10n-100-500\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n>0$ 为了简化系数，不等式两边同时除以正数 10： $n^2+n-10-50\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n>0⟹n^2+n-10>50\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\text{（式1）}$

由于未知数 $n$ 作为正整数同时存在于二次多项式底座与指数幂的指数位置，该混合代数不等式无法通过常规解析公式初等求解。因为 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，考虑通过离散代入尝试法（估算法）锁定边界：

设左侧多项式为 $f(n)=n^2+n-10$，右侧指数多项式为 $g(n)=50\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{50}{2^n}$． 显然，随着 $n$ 的增大， $f(n)$ 严格单调递增，而 $g(n)$ 严格单调递减。

• 当 $n=1$ 时： $f(1)=1^2+1-10=-8,g(1)=\frac{50}{2^1}=25⟹-8>25\text{（不成立）}$
• 当 $n=2$ 时： $f(2)=2^2+2-10=-4,g(2)=\frac{50}{2^2}=12.5⟹-4>12.5\text{（不成立）}$
• 当 $n=3$ 时： $f(3)=3^2+3-10=2,g(3)=\frac{50}{2^3}=\frac{50}{8}=6.25⟹2>6.25\text{（不成立）}$
• 当 $n=4$ 时： $f(4)=4^2+4-10=10,g(4)=\frac{50}{2^4}=\frac{50}{16}=3.125⟹10>3.125\text{（完全成立）}$

由于当 $n\ge 4$ 时，由于单调性的此消彼长， $f(n)$ 将持续严格大于 $g(n)$． 因此，满足控制不等式（式1）的最小正整数解为： $n=4$

答：从今年起该企业至少经过 4 年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：经济问题向等差、等比求和基本功模型的抽象转化；拆项分组求和法 $\sum (A+B_k)$ 的熟练展开；混合型超验不等式 $f(n)>g(n)$ 利用正整数离散性质进行逐项代入锚定边界的特殊技巧。
2. 核心方法：拆项求和法、离散单调性数值夹逼法。
3. 避坑指南：
   • 在计算等差首项 $a_1$ 时发生前置时间错位：很多学生直接把 2003 年的 500 万元当成等差数列的首项 $a_1$，导致算出的 $A_n=500n-10n(n-1)$。请仔细审题：衰减是从“今年（第一年）”开始比“上一年（2003年）”减少 20 万元。因此今年第一年的单年利润已经发生了衰减，首项必须是 $500-20=480$ 万元。
   • 在构建 $B_n$ 时遗漏扣除技术改造本金：一次性投入的 600 万元属于纯利润的负扣除分量，必须在累计和的代数式最后强行减去 600，否则算出的方案将完全脱离实际经济收益。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查高中数列核心基本功（等差与等比双核驱动）向现代企业生产最优化决策跨界交汇的标配大纲解答题第三题，属于中等难度常规应用题。
2. 结论推广: 比较等差数列与等比数列的增长快慢，可分别写出通项或前 $n$ 项和，再通过作差、作商或估值比较大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1956-全国-05 解-等差角等比边定正三角形