2004-福建理-14 填-函数连续性

本题导读

本题考查函数在某点连续的充要条件，以及函数极限的计算。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x},& x\ne 0\\ a,& x=0\end{array}$ 在 $x=0$ 处连续，则实数 $a$ 的值为 $\frac{1}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 连续性转化为极限方程：在 $x=x_0$ 处连续要求 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，故本题需证 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=a$。
2. 分子有理化消去零因子：$x\to 0$ 时分子、分母都趋于 0，是 $\frac{0}{0}$ 型。分子、分母同乘 $\sqrt{1+x}+1$，用平方差公式消去根号，约去 $x$ 后再代入求极限。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立连续性的极限方程 因 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，有： ${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)$ 当 $x\ne 0$ 时 $f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$，$f(0)=a$，代入： ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=a\text{（式1）}$

第二步：分子有理化消除零因子 对（式1）左侧的 $\frac{0}{0}$ 型分式，分子、分母同乘 $\sqrt{1+x}+1$： ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}$ 分子用平方差公式 $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$： $\text{分子：}(\sqrt{1+x}{)}^2-1^2=(1+x)-1=x$ 代回： ${\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}$ 因 $x\to 0$ 但 $x\ne 0$，约去公因式 $x$： ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$

第三步：代入求 $a$ 分母在 $x=0$ 处不为 0，直接代入： ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ 结合（式1）： $a=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点连续定义式 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$；无理根式极限中的”分子有理化”。
2. 核心方法：分子有理化法。
3. 避坑指南：
   • 未判定极限类型就直接代入导致分母为 0：做极限题前先判断类型（如 $\frac{0}{0}$），对 $\frac{0}{0}$ 型根式分式优先用分子有理化。
   • (注：本题也可用洛必达法则复核： ${\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{1}=\frac{1}{2}$)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查极限的连续性定义，属低档常规题。
2. 结论推广: 极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ 即 $g(x)=\sqrt{1+x}$ 在 $x=0$ 处的导数 $g^{\prime }(0)$。由 $g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$，得 $g^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性