2004-福建理-11 单-函数的周期性与偶函数性质

本题导读

本题考查函数的周期性与偶函数性质，以及绝对值函数的图象特征。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f(x+2)$，当 $x\in [3,5]$ 时，$f(x)=2-|x-4|$，则 ()

A. $f\left(\sin \frac{\pi }{6}\right)<f\left(\cos \frac{\pi }{6}\right)$　　　　　　　　　　　　　　B. $f(\sin 1)>f(\cos 1)$

C. $f\left(\cos \frac{2\pi }{3}\right)<f\left(\sin \frac{2\pi }{3}\right)$　　　　　　　　　　　　　D. $f(\cos 2)>f(\sin 2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由周期与对称性化归：$f(x)=f(x+2)$ 说明 $T=2$；又是偶函数，$f(-x)=f(x)$。
2. 平移重建区间解析式：已知 $x\in [3,5]$ 时 $f(x)=2-|x-4|$，向左平移 2 个单位得 $x\in [1,3]$ 时 $f(x)=2-|x-2|$；再平移得 $x\in [-1,1]$ 时 $f(x)=2-|x|$。
3. 分析 $[-1,1]$ 上的单调性：当 $x\in [0,1]$ 时 $f(x)=2-x$，单调递减；由偶函数性质，$f(x)=f(|x|)$，故 $|x|$ 越大函数值越小。
4. 逐项比较：把四个选项中的自变量绝对值求出并化到 $[0,1]$ 内比较。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求出 $[-1,1]$ 上的解析式与单调性 $f(x)$ 以 $2$ 为周期，且当 $x\in [3,5]$ 时 $f(x)=2-|x-4|$。 由周期性 $f(x)=f(x-4)$，向左平移 4 个单位： 当 $x\in [3,5]$ 即 $x-4\in [-1,1]$ 时： $f(x-4)=2-|(x-4)-0|=2-|x-4|$ 故在 $[-1,1]$ 上： $f(x)=2-|x|$

当 $x\in [0,1]$ 时， $f(x)=2-x$，斜率（导数）为 $-1<0$，故 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减。 又 $f(x)$ 是偶函数，$f(x)=f(|x|)$，故对 $x_1,x_2\in [-1,1]$，当 $|x_1|<|x_2|$ 时 $f(x_1)>f(x_2)$。

第二步：逐项比较四个选项

• A 选项： $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}=0.5$， $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$。 因 $0.5<0.866$，由 $[0,1]$ 上单调递减得： $f\left(\sin \frac{\pi }{6}\right)>f\left(\cos \frac{\pi }{6}\right)$ A 错误。

• B 选项： 自变量为 1 弧度。因 $0<1<\frac{\pi }{2}\approx 1.57$，在第一象限内 $\sin x$ 递增、$\cos x$ 递减；又 $1>\frac{\pi }{4}\approx 0.785$，故： $\sin 1>\cos 1>0$ 由单调递减得自变量大的函数值小： $f(\sin 1)<f(\cos 1)$ B 错误。

• C 选项： $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$， $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 利用偶函数取绝对值： $\left|\cos \frac{2\pi }{3}\right|=\left|-\frac{1}{2}\right|=0.5$ $\left|\sin \frac{2\pi }{3}\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$ 因 $0.5<0.866$，绝对值小的函数值大： $f\left(\cos \frac{2\pi }{3}\right)>f\left(\sin \frac{2\pi }{3}\right)$ C 错误。

• D 选项： 自变量为 2 弧度。因 $\frac{\pi }{2}<2<\pi$，2 弧度在第二象限： $\cos 2<0,\sin 2>0$ 取绝对值： $|\cos 2|=-\cos 2=\cos (\pi -2)$ $|\sin 2|=\sin 2=\sin (\pi -2)$ 因 $\pi -2\approx 1.14$，且 $\frac{\pi }{4}\approx 0.785<1.14<\frac{\pi }{2}$，故锐角 $\pi -2>45^{\circ }$，此时 $\sin (\pi -2)>\cos (\pi -2)$： $|\sin 2|>|\cos 2|$ 故 $|\cos 2|<|\sin 2|$，由 $[0,1]$ 上单调递减得： $f(\cos 2)>f(\sin 2)$ D 正确。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：周期函数 $f(x)=f(x+T)$ 向基本区间的化归；偶函数 $f(x)=f(|x|)$ 在比较大小中的应用；弧度制下三角函数值的大小比较。
2. 核心方法：周期性化归法、绝对值变量比较法。
3. 避坑指南：
   • 把 1 弧度、2 弧度当成角度制：看到 $\sin 1$ 误当 $1^{\circ }$。无单位的数默认是弧度制，$1\approx 57.3^{\circ }>45^{\circ }$，$2\approx 114.6^{\circ }$，需转化到第一象限的辅助角 $\pi -2$ 再比较。
   • 忽略区间单调性方向：化简出 $f(x)=2-|x|$ 后，注意它在 $[0,1]$ 上是减函数，自变量越大函数值越小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查函数的周期、奇偶、单调三大性质与三角函数值的比较，属高难度题。
2. 结论推广: $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 为偶函数的充要条件是 $\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$，此时图象关于 $y$ 轴对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性