2004-福建理-10 单-球的表面积公式与性质

本题导读

本题考查球的表面积公式与性质，以及解三角形。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 如图， $A$、 $B$、 $C$ 是表面积为 $48\pi$ 的球面上的三点，$AB=2$， $BC=4$， $\angle ABC=60^{\circ }$， $O$ 为球心，则直线 $OA$ 与截面 $ABC$ 所成的角是 ()

A. $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　　　B. $\arccos \frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　　　C. $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求球体的大圆半径 $R$：利用球的表面积公式 $S=4\pi R^2=48\pi$，直接解出球的半径 $R$。
2. 求解截面三角形 $△ABC$ 的外接圆半径 $r$：
   • 首先在 $△ABC$ 中，已知两边 $AB,BC$ 及其夹角 $\angle ABC=60^{\circ }$，利用余弦定理求出对边 $AC$ 的长度。
   • 截面 $ABC$ 截球面所得的小圆，即为 $△ABC$ 的外接圆。利用正弦定理的扩展形式 $2r=\frac{AC}{\sin \angle ABC}$，求出小圆的半径 $r$。
3. 构造直角三角形求解线面角：
   • 设截面小圆的圆心为 $O_1$，连接 $O{O}_1$，根据球的对称性可知 $O{O}_1\perp$ 截面 $ABC$。
   • 连接 $O_{1}A$，则 $O_{1}A=r$，且 $\angle OA{O}_1$ 即为直线 $OA$ 与截面 $ABC$ 所成的角 $\theta$。
   • 在直角 $△O{O}_{1}A$ 中，斜边 $OA=R$，邻边 $O_{1}A=r$。利用余弦函数定义式 $\cos \theta =\frac{r}{R}$ 即可锁定最终答案。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算球的半径 $R$ 已知球的表面积为 $48\pi$，设球的半径为 $R$。根据球的表面积公式： $S=4\pi R^2=48\pi ⟹R^2=12⟹R=2\sqrt{3}$

第二步：计算截面 $△ABC$ 的外接圆半径 $r$ 在截面 $△ABC$ 中，已知 $AB=2$，$BC=4$，$\angle ABC=60^{\circ }$。 根据余弦定理，求对边 $AC$ 的平方： $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC$ $A{C}^2=2^2+4^2-2\times 2\times 4\times \cos 60^{\circ }=4+16-16\times \frac{1}{2}=12$ 所以： $AC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

截面 $ABC$ 截球面所得的截面小圆圆心设为 $O_1$，则该圆即为 $△ABC$ 的外接圆，设其半径为 $r$。 根据正弦定理，有： $2r=\frac{AC}{\sin \angle ABC}⟹2r=\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4⟹r=2$

第三步：求直线 $OA$ 与截面 $ABC$ 所成角 因为 $O$ 为球心， $O_1$ 为截面圆的圆心，根据球的固有性质，轴心连线垂直于截面： $O{O}_1\perp \text{平面 }ABC$ 连接 $O_{1}A$，则 $O_{1}A$ 是直线 $OA$ 在截面 $ABC$ 上的正交射影。 因此，直线 $OA$ 与截面 $ABC$ 所成的角严格对应着直角三角形中的锐角： $\theta =\angle OA{O}_1$

在直角 $△O{O}_{1}A$ 中， $\angle O{O}_{1}A=90^{\circ }$： 斜边（球半径） $OA=R=2\sqrt{3}$， 邻边（小圆半径） $O_{1}A=r=2$。 根据锐角三角函数的余弦定义： $\cos \theta =\frac{O_{1}A}{OA}=\frac{r}{R}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 结合反三角函数的表达规则，可得线面角 $\theta$ 为： $\theta =\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球性质中“球心、截面圆心、球面上点”构成的核心直角三角形 $△O{O}_{1}A$ 的建立（满足关系 $R^2=r^2+d^2$）；正弦定理在求解平面截面外接圆半径中的基础映射；线面角的射影几何判定。
2. 核心方法：核心直角三角形勾股降维法、正弦定理边角转换法。
3. 避坑指南：
   • 混淆反三角函数的正弦与余弦形态导致错选C：本题利用邻边与斜变之比直接算出的是 $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$。部分学生由于马虎，直接套用 $\arcsin$ 从而错选 C。若要用正弦表示，需先通过勾股定理求出对边 $O{O}_1=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{12-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则 $\sin \theta =\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，选项中并无此项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查空间立体几何度量（球体图形特征）的大纲压轴选择题，属于中高难度常规题。
2. 结论推广: 半径为 $R$ 的球被平面所截，若截面圆半径为 $r$，球心到截面距离为 $d$，则 $r^2+d^2=R^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2018-全国卷I理-17 解-正弦定理
• 2021-天津卷-16 解-解三角形