2004-福建理-07 单-反函数与概念

本题导读

本题考查反函数的求解与概念，以及指数函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 已知函数 $y={\log }_{2}x$ 的反函数是 $y=f^{-1}(x)$，则函数 $y=f^{-1}(1-x)$ 的图象是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求反函数解析式：由 $y={\log }_{2}x$ 得 $x=2^y$，交换自变量与因变量，得 $f^{-1}(x)=2^x$。
2. 写出目标函数：把 $x$ 换为 $1-x$，得 $y=2^{1-x}=\frac{2}{2^x}=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x$。
3. 用性质与特征点锁定图象：
   • 底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，排除 A、B；
   • 令 $x=0$ 得 $y=2$，图象过 $(0,2)$；令 $x=1$ 得 $y=1$，图象过 $(1,1)$，据此在 C、D 中确定。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求反函数 $f^{-1}(x)$ 原函数为： $y={\log }_{2}x$ 化为指数式： $x=2^y$ 交换 $x$、$y$，得反函数： $f^{-1}(x)=2^x$

第二步：求 $f^{-1}(1-x)$ 并分析性质 将反函数中的 $x$ 替换为 $1-x$： $y=2^{1-x}$ 由幂的运算法则变形： $y=2^1\times 2^{-x}=2\times {\left(2^{-1}\right)}^x=2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

1. 单调性：底数 $\frac{1}{2}$ 满足 $0<\frac{1}{2}<1$，故该函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。A、B 选项的图象单调递增，排除 A、B。

第三步：用特征点定位唯一图象 在 C、D 中，用特殊点排除：

• $y$ 轴截距：令 $x=0$： $y=2^{1-0}=2^1=2$ 图象与 $y$ 轴交于 $(0,2)$。D 选项与 $y$ 轴交点靠近原点下方且穿过 $x$ 轴，而 $y=2^{1-x}>0$ 恒成立，图象应在 $x$ 轴上方，排除 D。
• 验证点：令 $x=1$： $y=2^{1-1}=2^0=1$ 图象过 $(1,1)$，与 C 选项相符。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数与指数函数互为反函数；复合指数函数 $y=a^{kx+b}$ 的单调性；由 $f(x)\to f(-x)\to f(1-x)$ 的对称与平移。
2. 核心方法：特征点代入排除法。
3. 避坑指南：
   • 图象变换顺序易错：从 $y=2^x$ 出发，先关于 $y$ 轴对称得 $y=2^{-x}$，再向右平移 1 个单位得 $y=2^{-(x-1)}=2^{1-x}$（“左加右减”只对 $x$ 生效）。选择题中建议直接用特征点代入法，不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查函数图象与几何变换，属基础题。

2. 结论推广: 原函数与反函数的图象关于直线 $y=x$ 对称，且单调性一致。求反函数时，先由 $y=f(x)$ 解出 $x$，再交换 $x,y$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-25 单-反函数的图象
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性