2004-福建理-04 单-椭圆的通径公式

本题导读

本题考查椭圆的通径公式，以及椭圆的离心率定义。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 已知 $F_1$、$F_2$ 是椭圆的两个焦点，过 $F_1$ 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 $A$、$B$ 两点，若 $△AB{F}_2$ 是正三角形，则这个椭圆的离心率是 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用椭圆通径公式表达底边：直线 $AB$ 过焦点 $F_1$ 且垂直于长轴（实轴），根据椭圆的几何特征，线段 $AB$ 即为椭圆的通径。其长度满足完整通式 $|AB|=\frac{2b^2}{a}$．由于椭圆关于长轴对称，故 $|A{F}_1|=|B{F}_1|=\frac{b^2}{a}$．
2. 利用正三角形的边高几何量建立方程：
   • 在 $△AB{F}_2$ 中，因为 $AB\perp F_1{F}_2$，所以线段 $F_1{F}_2$ 构成了该三角形底边 $AB$ 上的高。
   • 两个焦点之间的距离（焦距）为 $|F_1{F}_2|=2c$．
   • 根据正三角形的固有几何特征，高与底边的关系满足 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \text{边长}$，即 $|F_1{F}_2|=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|$．
3. 参数化简求离心率：将含 $b^2,a,c$ 的表达式代入上述几何方程，结合 $b^2=a^2-c^2$ 进行消元，化为关于离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的一元二次方程即可求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)，其半焦距为 $c$． 根据题意，直线 $AB\perp F_1{F}_2$ 于左焦点 $F_1$，则线段 $AB$ 是椭圆的通径，其长度为： $|AB|=\frac{2b^2}{a}$ 因为椭圆图形关于 $x$ 轴严格对称，所以左焦点 $F_1$ 为线段 $AB$ 的中点： $|A{F}_1|=\frac{1}{2}|AB|=\frac{b^2}{a}$

在 $△AB{F}_2$ 中，连接 $F_1{F}_2$，由于 $AB\perp F_1{F}_2$，线段 $F_1{F}_2$ 是该三角形的对称轴（高线），其长度为焦距： $|F_1{F}_2|=2c$

已知 $△AB{F}_2$ 是正三角形（等边三角形），根据直角三角形 $△A{F}_1{F}_2$ 中 $30^{\circ }-60^{\circ }-90^{\circ }$ 的边长边角特征，高与半底边的关系满足： $\tan 60^{\circ }=\frac{|F_1{F}_2|}{|A{F}_1|}⟹\sqrt{3}=\frac{2c}{\frac{b^2}{a}}$ 进行交叉相乘变形： $\sqrt{3}\cdot \frac{b^2}{a}=2c⟹\sqrt{3}{b}^2=2ac\text{（式1）}$

根据椭圆中三个基本核心参数的平方差平方和恒等性质关系 $b^2=a^2-c^2$，代入（式1）中以消除参数 $b$： $\sqrt{3}(a^2-c^2)=2ac$ 展开并进行移项整理，将其转化为关于参数 $a,c$ 的二次齐次方程： $\sqrt{3}{a}^2-2ac-\sqrt{3}{c}^2=0$

为了直接求得离心率 $e=\frac{c}{a}$，方程两边同时除以正数 $a^2$： $\sqrt{3}-2\left(\frac{c}{a}\right)-\sqrt{3}{\left(\frac{c}{a}\right)}^2=0$ 代入离心率定义符号 $e$，化为标准的一元二次方程： $\sqrt{3}{e}^2+2e-\sqrt{3}=0$

对该方程进行十字相乘因式分解： $(\sqrt{3}e-1)(e+\sqrt{3})=0$ 解得两个根： $e_1=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},e_2=-\sqrt{3}$

因为椭圆的离心率取值范围被严格确定在定义域 $e\in (0,1)$ 内，故负根 $e_2=-\sqrt{3}$ 必须舍去。 因此，该椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$．

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：过焦点的垂直弦（通径长） $|AB|=\frac{2b^2}{a}$ 的基本代数分量模型；等边三角形中高 $h$ 与边长 $L$ 的解析比例（$h=\frac{\sqrt{3}}{2}L$）；齐次二次方程通过同除以 $a^2$ 转化为离心率一元二次方程的降维解法。
2. 核心方法：通径几何模型法、二次齐次方程消元法。
3. 避坑指南：
   • 错记通径公式导致计算偏离：部分学生容易把椭圆的通径长度 $\frac{2b^2}{a}$ 记错成 $\frac{2a^2}{b}$ 或者是 $\frac{b^2}{a}$，这是解析几何选择题中最普遍的低级失分点，通径可以通过令 $x=c$ 直接代入椭圆方程进行秒杀推导复核。
   • 因式分解符号看错：在对 $\sqrt{3}{e}^2+2e-\sqrt{3}=0$ 进行因式分解时，务必注意常数项为负，中间项为正数，防止把根错算成 $\sqrt{3}$ 导致解集溢出。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查圆锥曲线基本特征量（焦点三角形空间度量）的标准大纲经典选择题，属于中等难度基础技巧题。
2. 结论推广: 本题涉及的等边三角模型属于通用的圆锥曲线半通径射影角控模型．一般地，对于任意偏心率为 $e$ 的圆锥曲线（包含椭圆与双曲线），过焦点且垂直于主轴的弦 $AB$ 与另一个焦点 $F_2$ 所构成的焦点三角形 $△AB{F}_2$，其顶角 $\angle A{F}_{2}B=2\alpha$ 的大小完全决定了该曲线的离心率特征：在椭圆中，恒满足代数恒等性质 $\tan \alpha =\frac{b^2}{2ac}=\frac{1-e^2}{2e}$．当顶角为 $60^{\circ }$（即正三角形， $\alpha =30^{\circ }$）时，代入可得 $\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1-e^2}{2e}⟹\sqrt{3}{e}^2+2e-\sqrt{3}=0⟹e=\frac{\sqrt{3}}{3}$．这一由内角射影直接锁定偏心率的代数对应机制，在天体轨道的近地点测量、光学反光镜的焦深控制中是核心控制模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点
• 1987-广东文-18 单-椭圆的焦点
• 1989-广东理-09 单-椭圆的离心率