2004-福建理-02 单-同角三角函数的基本关系

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） $\tan 15^{\circ }+\cot 15^{\circ }$ 的值是 ()

A. $2$　　　　　　B. $2+\sqrt{3}$　　　　　　C. $4$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 弦切互化统一底数：利用同角三角函数关系 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 以及 $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$，将原式进行切化弦变形。
2. 通分化简逆用倍角公式：将分式通分后，分子部分产生平方和 ${\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }=1$；分母部分产生积的形态 $\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$，通过分子分母同乘以 2，即可逆向套用二倍角正弦公式 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ 转化为特殊角求值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：切化弦变换与通分 根据同角三角函数的基本关系式，将正切与余切改写为正弦和余弦的比值形式： $\tan 15^{\circ }+\cot 15^{\circ }=\frac{\sin 15^{\circ }}{\cos 15^{\circ }}+\frac{\cos 15^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}$ 对两个分式进行同分母通分： $\frac{\sin 15^{\circ }}{\cos 15^{\circ }}+\frac{\cos 15^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}=\frac{{\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }}{\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}$

第二步：恒等变换与特殊角代入 利用同角三角函数平方和恒等式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，分子可直接化简为 1： $\frac{{\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }}{\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}=\frac{1}{\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}$

为了在分母凑出二倍角正弦公式的结构，将分式的分子与分母同时乘以 2： $\frac{1}{\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}=\frac{2}{2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}$ 逆用二倍角正弦通式 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$，分母可转化为： $\frac{2}{2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}=\frac{2}{\sin (2\times 15^{\circ })}=\frac{2}{\sin 30^{\circ }}$

代入特殊角正弦函数值 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ 进行最终计算： $\frac{2}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=2\times 2=4$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数倒数与商数关系的联合应用（切化弦法）；二倍角正弦变形公式 $\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$ 的敏锐识别。
2. 核心方法：弦切互化法、倍角降幂逆推法。
3. 避坑指南：
   • 盲目利用两角差公式求出单个数值后再加和：部分学生习惯先利用 $15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$ 分别求出 $\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$ 以及 $\cot 15^{\circ }=2+\sqrt{3}$，最后相加得到 $4$。该解法虽可行，但中间涉及双重根式或繁分式的有理化，运算步骤过多，属于考场上的时间陷阱。应优先选择“先整体化简，后局部代入”的恒等变换策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查三角恒等变换基础运算的标准大纲选择题，属于低难度基础题。
2. 结论推广: 本题涉及的对偶分式属于通用的万能公式对称核模型。一般地，对于任意非直角实数 $\theta$，其正切与余切的加和运算在代数上恒满足完整恒等式：$\tan \theta +\cot \theta =\frac{2}{\sin 2\theta }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-湖南文-16 解-三角化简求角
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值