2004-福建理-01 单-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的除法。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 复数 ${\left(\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^{10}$ 的值是 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-32$　　　　　　　D. $32$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先化简括号内部的复数分式：对于复数分式 $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}$，采用分母实数化的方法，分子分母同时乘以分母的共轭复数 $1-\text{i}$，将其化为最简代数形式。
2. 利用虚数单位的幂次性质求解：化简括号内的部分后，再对结果求 10 次方。结合 ${\text{i}}^2=-1$ 及其 4 阶周期性特征，快速算得最终结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：括号内部复数分母实数化 聚焦于括号内部的代数分式 $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}$，分子与分母同时乘以分母的共轭复数 $1-\text{i}$： $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{(1-\text{i})(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}$ 分别对分子与分母应用多项式乘法与平方差公式展开： $\text{分子：}(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}+{\text{i}}^2=1-2\text{i}-1=-2\text{i}$ $\text{分母：}(1+\text{i})(1-\text{i})=1^2-{\text{i}}^2=1-(-1)=2$ 因此，括号内部可化简为： $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{-2\text{i}}{2}=-\text{i}$

第二步：计算高次幂并消项 将化简后的结果代回原式中进行 10 次幂运算： ${\left(\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^{10}=(-\text{i}{)}^{10}$ 根据指数运算法则，负号的偶数次方为正： $(-\text{i}{)}^{10}=(-1{)}^{10}\times {\text{i}}^{10}=1\times {\text{i}}^{10}={\text{i}}^{10}$ 利用虚数单位 $\text{i}$ 的指数幂周期律，将指数 10 改写为以 4 为周期的余数表达式 $10=4\times 2+2$： ${\text{i}}^{10}={\text{i}}^{4\times 2+2}=({\text{i}}^4{)}^2\times {\text{i}}^2$ 已知 ${\text{i}}^4=1$， ${\text{i}}^2=-1$，代入可得： ${\text{i}}^{10}=1^2\times (-1)=-1$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法中利用共轭复数 $(a+b\text{i})(a-b\text{i})=a^2+b^2$ 进行分母实数化的通用技巧；特殊复数特征值 $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$ 以及 $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i}$ 的熟练记忆；虚数单位 ${\text{i}}^n$ 的 4 阶周期性（${\text{i}}^1=\text{i},{\text{i}}^2=-1,{\text{i}}^3=-\text{i},{\text{i}}^4=1$）。
2. 核心方法：分母共轭实数化法、幂次周期化简法。
3. 避坑指南：
   • 丢掉负号导致结果反转：在计算 $(-\text{i}{)}^{10}$ 时，部分学生容易把负号漏掉直接写成 $-{\text{i}}^{10}$，导致算出 $1$ 而误选 B。处理负复数的幂次，务必先用 $(-1{)}^n$ 将符号单独剥离出来，再对 $\text{i}$ 进行化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考试卷中考查复数基础运算的第一题，属于低难度送分题。
2. 结论推广: 本题涉及的复数分式属于通用的欧拉单位圆转动运算模型。在复平面内， $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i}$ 几何上代表一个模长为 1、辐角为 $-\frac{\pi }{2}$ 的单位向量。将其进行 $n$ 次幂运算，等价于在复平面上顺时针连续旋转 $n$ 次 $90^{\circ }$。利用棣莫弗定理（De Moivre’s formula），该模型可完整推广为： ${\left(\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}\right)}^n=\cos \left(-\frac{n\pi }{2}\right)+\text{i}\sin \left(-\frac{n\pi }{2}\right)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1980-全国文-01 解-复数的除法化简
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 1986-全国文-12 填-复数的运算