2004-福建文-08 单-向量数量积与夹角

本题导读

本题考查向量垂直的充要条件，以及数量积与夹角。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 已知 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 是非零向量且满足 $(\vec{a}-2\vec{b})\perp \vec{a}$，$(\vec{b}-2\vec{a})\perp \vec{b}$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(\vec{a}-2\vec{b})\cdot \vec{a}=0$ 得 $|\vec{a}{|}^2=2\vec{a}\cdot \vec{b}$；$(\vec{b}-2\vec{a})\cdot \vec{b}=0$ 得 $|\vec{b}{|}^2=2\vec{a}\cdot \vec{b}$。
2. 所以 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2}$。
3. $\theta =\frac{\pi }{3}$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由垂直条件得 $(\vec{a}-2\vec{b})\cdot \vec{a}=0$ 及 $(\vec{b}-2\vec{a})\cdot \vec{b}=0$，即 $|\vec{a}{|}^2=2\vec{a}\cdot \vec{b}$，$|\vec{b}{|}^2=2\vec{a}\cdot \vec{b}$.所以 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，且 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}{|}^2}=\frac{1}{2}$，因而 $\theta =\frac{\pi }{3}$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积与夹角
2. 核心方法：$(\vec{a}-2\vec{b})\cdot \vec{a}=0$ 且 $(\vec{b}-2\vec{a})\cdot \vec{b}=0$，得 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ 且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}$，$\cos \theta =\frac{1}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{3}$
3. 避坑指南：垂直即数量积为零，两条方程联立消元；夹角公式分母是模的积，代值前先定模相等

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量垂直与夹角，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$；$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$；垂直条件列方程组，消元得模与数量积的关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-08 单-向量夹角
• 2010-新课标Ⅰ文-02 单-向量夹角余弦
• 2011-湖北卷文-02 单-向量夹角