2004-福建文-03 单-复合命题真假判定

本题导读

本题考查复合命题的真假判定，以及充要条件与函数定义域。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 命题 $p$：若 $a,b\in \mathbf{R}$，则 $|a|+|b|>1$ 是 $|a+b|>1$ 的充要条件.命题 $q$：函数 $y=\sqrt{|x-1|}-2$ 的定义域是 $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$.则()

A. ”$p$ 或 $q$“为假　B. ”$p$ 且 $q$“为真　C. $p$ 真 $q$ 假　D. $p$ 假 $q$ 真

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判 $p$：$|a|+|b|>1$ 推不出 $|a+b|>1$（如 $a=\frac{3}{5}$，$b=-\frac{3}{5}$），但 $|a+b|>1$ 必有 $|a|+|b|>1$，故为必要不充分，$p$ 假。
2. 判 $q$：$\sqrt{|x-1|}$ 对一切实数有意义，定义域为 $\mathbf{R}$，$q$ 假。
3. $p$、$q$ 同假，”$p$ 或 $q$“为假，选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

对命题 $p$：由 $|a+b|⩽|a|+|b|$，当 $|a+b|>1$ 时必有 $|a|+|b|>1$；但反之不成立，例如取 $a=\frac{3}{5}$，$b=-\frac{3}{5}$，则 $|a|+|b|=\frac{6}{5}>1$ 而 $|a+b|=0$，故 $|a|+|b|>1$ 是 $|a+b|>1$ 的必要而不充分条件，$p$ 为假命题。对命题 $q$：函数 $y=\sqrt{|x-1|}-2$ 中根号内 $|x-1|⩾0$ 对一切实数成立，定义域为 $\mathbf{R}$，并非 $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$，$q$ 为假命题。因此”$p$ 或 $q$“为假，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合命题真假判定
2. 核心方法：$p$：$|a|+|b|>1$ 推不出 $|a+b|>1$（如 $a=\frac{3}{5},b=-\frac{3}{5}$），$p$ 假；$q$：$\sqrt{|x-1|}-2$ 对一切实数有意义，定义域 $\mathbf{R}$，$q$ 假；故”p 或 q”为假
3. 避坑指南：根式里是 $|x-1|$ 整体，定义域为 $\mathbf{R}$，勿误认为 $|x-1|-2⩾0$；充要判断用反例

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于复合命题真假与充要条件，教材”常用逻辑用语”
2. 结论推广: 一般化：$p$、$q$ 同假时”p 或 q”假、“p 且 q”假；逐个判定简单命题真假，举反例否定充要性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-04 单-复合命题真假
• 2005-天津卷文-07 单-命题真假判定
• 2013-新课标Ⅰ文-05 单-复合命题真假