2004-湖南理-15 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 若 ${\left(x^3+\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)}^n$ 的展开式中的常数项为 84，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（指数指数化）：首先将二项式内部的每一项统一化为底数为 $x$ 的分数指数幂形式。第一项为 $x^3$，第二项 $\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{1}{x\cdot x^{1/2}}=\frac{1}{x^{3/2}}=x^{-3/2}$。
2. 第二步逻辑（写出通项公式）：利用二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，写出第 $r+1$ 项的普适代数式，并把所有含有自变量 $x$ 的指数项合并同类项。
3. 第三步逻辑（锁定常数项方程）：常数项意味着自变量 $x$ 的总指数严格等于 0。由此列出关于 $n$ 和 $r$ 的线性关系式，将 $n$ 用 $r$ 进行齐次表示。
4. 第四步逻辑（代入组合数求解）：由于 $r$ 必须是正整数或 0，通过常数项系数 ${\text{C}}_n^r=84$ 的有界性，尝试或解出 $n$ 的完整正整数解。

✅【答案】

Success

$9$

✍【详细解析】

Abstract

• 统一化为分数指数幂并写出通项公式： 对原二项式内部的分式根式项进行有理化指数改写： $\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{1}{x^1\cdot x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=x^{-\frac{3}{2}}$ 则原二项式等价改写为： ${\left(x^3+x^{-\frac{3}{2}}\right)}^n$。

  写出其二项展开式的第 $r+1$ 项通项公式 $T_{r+1}$（其中 $0\le r\le n,r\in \mathbf{N}$）： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot (x^3{)}^{n-r}\cdot {\left(x^{-\frac{3}{2}}\right)}^r\text{（式1）}$ 运用幂的乘方与同底数幂乘法运算法则，对（式1）中包含 $x$ 的指数部分进行合并： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot x^{3(n-r)}\cdot x^{-\frac{3}{2}r}={\text{C}}_n^r\cdot x^{3n-3r-\frac{3}{2}r}={\text{C}}_n^r\cdot x^{3n-\frac{9}{2}r}\text{（式2）}$

• 通过常数项建立指标方程： 展开式中存在“常数项”，意味着该特定项中自变量 $x$ 的幂指数必须严格为 0。 由（式2）的指数项建立方程： $3n-\frac{9}{2}r=0⟹3n=\frac{9}{2}r⟹n=\frac{3}{2}r\text{（式3）}$ 因为 $r$ 必须为非负整数，由（式3）可知， $r$ 必然是偶数，且 $n$ 必然是 3 的倍数。

• 结合系数方程求解正整数 $n$： 已知常数项的系数值为 84，由（式2）可知： ${\text{C}}_n^r=84\text{（式4）}$ 将（式3）的关系变形为 $r=\frac{2}{3}n$ 代入（式4）中： ${\text{C}}_n^{\frac{2}{3}n}=84⟹{\text{C}}_n^{\frac{1}{3}n}=84\text{（式5）}$

  由于 $n$ 是 3 的倍数，我们顺次代入特殊的 3 的倍数进行核验：

  • 若 $n=6$，则 ${\text{C}}_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15\ne 84$ ；
  • 若 $n=9$，则 ${\text{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=3\times 4\times 7=84$。

  经核验， $n=9$ 完美契合（式5）的组合数方程。此时对应的项数 $r=\frac{2}{3}\times 9=6$。

填空题最终答案为： 9。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分数指数幂的代数运算法则；二项式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的准确书写；组合数性质 ${\text{C}}_n^m={\text{C}}_n^{n-m}$。
2. 核心方法：通项公式方程法。
3. 避坑指南：
   • 切忌将第 $r+1$ 项通项公式记错为第 $r$ 项：这是二项式定理最普遍的低级失分点。
   • 化简含有根式的分式 $\frac{1}{x\sqrt{x}}$ 时，负号和分数 $\frac{3}{2}$ 必须算准，一旦算成 $x^{-1/2}$ 或是 $x^{-2}$，会导致后续方程无整数解。
   • 求解（式5）的不定方程时，无需使用复杂的代数公式展开，因为 $n$ 必须是 3 的倍数，直接从小到大代入 6, 9 试算组合数，通常一到两步即可试出正确答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材“二项式定理”章节关于“求展开式特定项”的经典课后提高题，属于历年高考考查二项式定理的标配中档填空题。
2. 结论推广: 一般地，对于二项式 ${\left(x^{\alpha }+x^{-\beta }\right)}^n$ 的代数展开图形，其产生常数项的充要代数恒等性质由帕斯卡三角形（Pascal’s triangle）对应水平截面上的特定节点锁死。其通项指数方程为 $\alpha (n-r)-\beta r=0⟹r=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }n$。为了确保在离散的数论空间内有解，总指数 $n$ 必须严格是分式因数 $\frac{\alpha +\beta }{\text{gcd}(\alpha ,\alpha +\beta )}$ 的正整数倍。这一整除性特征在计算机代数（Computer Algebra）的符号简化算法中构成了多项式次数规约的重要底层判据。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷(理)-07 单-二项式定理
• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项
• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理