2004-湖南理-12 单-导数的乘法运算法则

本题导读

本题考查导数的乘法运算法则，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 设 $f(x)、g(x)$ 分别是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数和偶函数，当 $x<0$ 时， $f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)>0$.且 $g(-3)=0$，则不等式 $f(x)g(x)<0$ 的解集是 ()

A. $(-3,0)\cup (3,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　B. $(-3,0)\cup (0,3)$

C. $(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　D. $(-\infty ,-3)\cup (0,3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（逆向构造辅助函数）：观察已知导数特征式 $f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)>0$。根据两个函数乘积的求导法则 $[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$，我们立即构造辅助函数 $h(x)=f(x)g(x)$。那么目标不等式等价于求解 $h(x)<0$。
2. 第二步逻辑（分析辅助函数的奇偶性）：
   • 已知 $f(x)$ 为奇函数 $⟹f(-x)=-f(x)$。
   • 已知 $g(x)$ 为偶函数 $⟹g(-x)=g(x)$。
   • 则 $h(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)]\cdot g(x)=-f(x)g(x)=-h(x)$。
   • 结论：辅助函数 $h(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格是一个奇函数。根据奇函数性质，必有 $h(0)=0$。
3. 第三步逻辑（确定单调性与零点）：
   • 当 $x<0$ 时， $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)>0$，这表明 $h(x)$ 在负半轴区间 $(-\infty ,0)$ 内是严格单调递增的。
   • 已知 $g(-3)=0⟹h(-3)=f(-3)g(-3)=0$。
   • 结合单调递增性：当 $x\in (-\infty ,-3)$ 时， $h(x)<h(-3)=0$ ；当 $x\in (-3,0)$ 时， $h(x)>h(-3)=0$。
4. 第四步逻辑（通过奇偶对称性向正半轴映射）：由于 $h(x)$ 是奇函数，其图象关于原点中心对称。
   • 负半轴零点为 $x=-3$，则正半轴对应的对称零点必然为 $x=3$，即 $h(3)=0$。
   • 负半轴 $(-\infty ,0)$ 单调递增，则正半轴 $(0,+\infty )$ 同样严格单调递增。
   • 由此可得：当 $x\in (0,3)$ 时， $h(x)<0$ ；当 $x\in (3,+\infty )$ 时， $h(x)>0$。
5. 第五步逻辑（汇总解集）：将正、负半轴上满足 $h(x)<0$ 的区间段进行并集汇总。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 构造辅助函数并确定其奇偶性恒等性质： 根据题意，令辅助函数为： $h(x)=f(x)g(x)\text{（式1）}$ 则目标不等式 $f(x)g(x)<0$ 完美等价于： $h(x)<0\text{（式2）}$

  因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数， $g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，满足： $f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)$ 代入辅助函数中进行自变量取反： $h(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)]\cdot g(x)=-f(x)g(x)=-h(x)$ 故 $h(x)$ 严格为定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数。根据奇函数在原点处的连续性，恒有： $h(0)=0\text{（式3）}$

• 利用导数研究 $h(x)$ 在负半轴的单调性与零点分布： 对（式1）进行微分求导，应用乘法法则： $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ 已知当 $x<0$ 时， $f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)>0$，即： $h^{\prime }(x)>0(x\in (-\infty ,0))$ 这表明辅助函数 $h(x)$ 在负半轴区间 $(-\infty ,0)$ 内严格单调递增。

  又已知 $g(-3)=0$，代入（式1）可得： $h(-3)=f(-3)\times g(-3)=f(-3)\times 0=0\text{（式4）}$ 结合单调递增性，在负半轴区间内判定（式2）的代数符号：

  • 当 $x\in (-\infty ,-3)$ 时， $h(x)<h(-3)=0⟹h(x)<0$ 成立；
  • 当 $x\in (-3,0)$ 时， $h(x)>h(-3)=0⟹h(x)>0$ 不成立。

• 运用奇函数的图象对称性向正半轴进行图形映射： 因为 $h(x)$ 是奇函数，其图象关于原点 $(0,0)$ 中心对称。

  1. 零点对称性：由 $h(-3)=0⟹h(3)=-h(-3)=0$ ；
  2. 单调性对称性：奇函数在对称区间上的单调性完全保持一致，故 $h(x)$ 在正半轴区间 $(0,+\infty )$ 内同样严格单调递增。

  根据 $h(0)=0,h(3)=0$ 且单调递增的性质，直接判定正半轴各区间段的符号：

  • 当 $x\in (0,3)$ 时， $h(x)<h(3)=0⟹h(x)<0$ 成立；
  • 当 $x\in (3,+\infty )$ 时， $h(x)>h(3)=0⟹h(x)>0$ 不成立。

• 汇总解集： 综合上述正、负半轴的分类讨论，使得 $h(x)<0$ 成立的自变量 $x$ 的集合为： $(-\infty ,-3)\cup (0,3)$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数乘法公式 $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 的逆向重构；奇偶函数乘积的奇偶性度量（奇 $\times$ 偶 = 奇）；奇函数在对称轴两端单调性保持一致的几何定理。
2. 核心方法：辅助函数构造法、数形结合图象卡位法。
3. 避坑指南：
   • 在向正半轴映射单调性时极易犯“惯性思维错误”：很多学生误以为奇函数在两侧的单调性是相反的（误以为左侧递增右侧就递减），从而错选了 A 或 C。请牢记硬背函数核心铁律：奇函数在对称区间上的单调性“完全相同”（左增右必增，左减右必减）；偶函数在对称区间上的单调性“完全相反”（左增右必减）。本题 $h(x)$ 证出是奇函数，故两侧均单调递增，配合草稿纸上画出的一条自左向右一路攀升、分别穿过 $-3,0,3$ 三个零点的连续动态曲线，一秒钟即可直观看到曲线在零轴下方的区间为 $(-\infty ,-3)$ 和 $(0,3)$，绝无丢解错解风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材“微积分基本定理与导数综合应用”章节的典型压轴思考题。
2. 结论推广: 一般地，这类导数不等式属于线性微分不等式（Linear differential inequalities）的离散控制问题。
   • 若题干给出 $f^{\prime }g+f{g}^{\prime }>0$，隐式映射为乘积运算 $[fg{]}^{\prime }>0$，首选构造 $h(x)=f(x)g(x)$ ；
   • 若题干给出 $f^{\prime }g-f{g}^{\prime }>0$，且分母 $g(x)\ne 0$，隐式映射为商运算 ${\left[\frac{f}{g}\right]}^{\prime }>0$，首选构造 $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ ；
   • 若题干给出 $f^{\prime }(x)+f(x)>0$，通过引入积分因子（Integrating factor） $e^x$，隐式映射为 $[e^{x}f(x){]}^{\prime }>0$，

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性