2004-湖南理-09 单-点与集合的属于关系

本题导读

本题考查点与集合的属于关系，以及集合的交集与补集运算。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 设集合 $U=\{(x,y)|x\in \mathbf{R},y\in \mathbf{R}\}$， $A=\{(x,y)|2x-y+m>0\}$， $B=\{(x,y)|x+y-n\le 0\}$，那么点 $P(2,3)\in A\cap ({\complement }_{U}B)$ 的充要条件是 ()

A. $m>-1,n<5$　　　　　　　　　　　　B. $m<-1,n<5$

C. $m>-1,n>5$　　　　　　　　　　　　D. $m<-1,n>5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（逻辑恒等性质转化）：根据集合交集的定义，点 $P(2,3)\in A\cap ({\complement }_{U}B)$ 等价于点 $P$ 的坐标同时满足： $\{\begin{array}{l}P(2,3)\in A\\ P(2,3)\in {\complement }_{U}B\end{array}$
2. 第二步逻辑（求解补集 ${\complement }_{U}B$）：已知集合 $B$ 的控制条件为 $x+y-n\le 0$。根据补集的定义，在全集 $U$ 中，不属于 $B$ 的点构成的集合即为其对立面。小于等于 0 的对立面为严格大于 0，故 ${\complement }_{U}B=\{(x,y)|x+y-n>0\}$。
3. 第三步逻辑（代入点求参数范围）：将点 $P(2,3)$ 的横坐标 $x=2$ 与纵坐标 $y=3$ 分别代入两个集合的不等式中，联立求解关于 $m,n$ 的一元一次不等式组。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 对集合补集 ${\complement }_{U}B$ 进行代数表征： 已知全集 $U$ 为整个实数平面，集合 $B=\{(x,y)|x+y-n\le 0\}$。 根据补集的定义， ${\complement }_{U}B$ 表示满足集合 $B$ 限制条件之外的所有点的集合。 对不等式 $x+y-n\le 0$ 取反，可得： ${\complement }_{U}B=\{(x,y)|x+y-n>0\}\text{（式1）}$

• 将点与交集的属于关系映射为不等式组： 已知点 $P(2,3)\in A\cap ({\complement }_{U}B)$。 根据交集的本质，该点必须同时满足属于这两个集合，即： $\{\begin{array}{l}(2,3)\in A\\ (2,3)\in {\complement }_{U}B\end{array}\text{（式2）}$

  将 $A$ 集合的解析条件 $2x-y+m>0$ 以及（式1）中 ${\complement }_{U}B$ 的解析条件 $x+y-n>0$ 带入（式2）的逻辑链中， 将点 $P$ 的坐标 $x=2,y=3$ 直接代入： $\{\begin{array}{l}2\times 2-3+m>0\\ 2+3-n>0\end{array}$

• 解不等式组锁定参数边界： 化简上述联立的不等式组： $\{\begin{array}{l}4-3+m>0⟹1+m>0\\ 5-n>0\end{array}$ 移项整理，可得参数的精确有界图形为： $\{\begin{array}{l}m>-1\\ n<5\end{array}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交、补运算的逻辑等价代换（$\in A\cap \complement B⟺\in A\wedge \notin B$）；二元一次不等式的点集代入。
2. 核心方法：逻辑条件代数化法。
3. 避坑指南:
   • 在对集合 $B$ 求补集时极易混淆边界等号：原集合 $B$ 的符号为 $\le$，求补集时必须严格取反变为 $>$，不能带有等号。同理，若原式为 $<$，补集则为 $\ge$。
   • 本题属于复数平面或解析几何中平面区域（半平面）划分的极简形式。不要被“集合”和“充要条件”的外壳吓倒，其本质就是最基础的“点在区域内，坐标代入不等式成立”的初等算术题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材中“集合的基本运算”与“二元一次不等式组表示的平面区域”交汇处的经典课后巩固题。
2. 结论推广: 判断点是否属于由直线划分的半平面区域，把点的坐标代入直线方程，根据所得值的正负号即可确定点位于直线的哪一侧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1985-广东文-18 单-集合的补集运算
• 1985-广东理-15 单-集合的补集运算