2004-湖南理-08 单-数列递推关系与求和

本题导读

本题考查数列递推关系与求和，以及级数的收敛性与极限。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1=\frac{1}{5}$， $a_n+a_{n+1}=\frac{6}{5^{n+1}}$， $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，则 ${\lim }_{n\to \infty }(a_1+a_2+\cdots +a_n)=$ ()

A. $\frac{2}{5}$　　　　　　B. $\frac{2}{7}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $\frac{4}{25}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记前 $n$ 项和：$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$，需求 $n\to \infty$ 时 $S_n$ 的极限，即无穷级数 $S={\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k$。
2. 利用递推式分组配对：已知 $a_n+a_{n+1}=\frac{6}{5^{n+1}}$，把除首项外的项两两配对： $S=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+(a_6+a_7)+\dots$
3. 转化为等比级数求和：各组代入递推式后，得到首项为 $\frac{6}{5^3}$、公比为 $\frac{1}{25}$ 的无穷递缩等比级数，用公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 求和。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 对无穷级数分组配对 设数列 $\{a_n\}$ 的无穷和为 $S$： $S={\lim }_{n\to \infty }(a_1+a_2+\cdots +a_n)=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+\dots \text{（式1）}$

  为利用递推式 $a_n+a_{n+1}=\frac{6}{5^{n+1}}$，保留首项 $a_1$，将其后各项按相邻两项分组： $S=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+(a_6+a_7)+\cdots +(a_{2k}+a_{2k+1})+\dots \text{（式2）}$

• 代入递推式化为等比级数 由 $a_n+a_{n+1}=\frac{6}{5^{n+1}}$，依次写出各组的值：

  • $n=2$ 时， $(a_2+a_3)=\frac{6}{5^{2+1}}=\frac{6}{5^3}$ ；
  • $n=4$ 时， $(a_4+a_5)=\frac{6}{5^{4+1}}=\frac{6}{5^5}$ ；
  • $n=6$ 时， $(a_6+a_7)=\frac{6}{5^{6+1}}=\frac{6}{5^7}$ ；

  连同首项 $a_1=\frac{1}{5}$ 一起代入（式2）： $S=\frac{1}{5}+\left[\frac{6}{5^3}+\frac{6}{5^5}+\frac{6}{5^7}+\cdots +\frac{6}{5^{2k+1}}+\dots \right]\text{（式3）}$

• 用等比级数求和公式求极限 （式3）中括号内每项都是前一项乘以 $\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$，是无穷递缩等比级数： $\text{首项 }{A}_1=\frac{6}{5^3}=\frac{6}{125},\text{公比 }q=\frac{1}{25}$ 因 $|q|=\frac{1}{25}<1$，级数收敛，用公式 $S_{\infty }=\frac{A_1}{1-q}$： ${\sum }_{k=1}^{\infty }(a_{2k}+a_{2k+1})=\frac{\frac{6}{125}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{\frac{6}{125}}{\frac{24}{25}}=\frac{6}{125}\times \frac{25}{24}=\frac{1}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{20}\text{（式4）}$

  代回（式3）： $S=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{4}{20}+\frac{1}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇偶分组求和；无穷递缩等比级数公式 ${\sum }_{n=0}^{\infty }c{q}^n=\frac{c}{1-q}$ 的收敛性计算。
2. 核心方法：分组配对求和法、等比级数化归法。
3. 避坑指南：
   • 盲目求通项 $a_n$：递推式右侧随 $n$ 变化，通项需分奇偶讨论，过程冗长。已知条件是 $a_n+a_{n+1}=f(n)$ 且目标是无穷和时，不必求通项，直接对 $S$ 两两配对，化为等比级数求和即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查数列极限与无穷级数，属综合构造能力题。
2. 结论推广: 若 $a_n+a_{n+1}=\alpha q^n$（$|q|<1$），则 $a_2+a_3=\alpha q^2$，$a_4+a_5=\alpha q^4$，……分组后用等比数列求和，可得 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+\frac{\alpha q^2}{1-q^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-34 填-等差数列前二十项和
• 1986-广东理-31 填-等差数列求和
• 1987-全国文-12 填-数列的极限