2004-湖南理-04 单-空间图形的折叠问题

本题导读

本题考查空间图形的折叠问题，以及三棱锥的体积公式。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 把正方形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折起，当以 $A、B、C、D$ 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 $BD$ 和平面 $ABC$ 所成的角的大小为 ()

A. $90^{\circ }$　　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　　D. $30^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（寻找体积最大时的状态）：将正方形沿 $AC$ 折起后，底面 $△ABC$ 的面积是一定不变的。根据三棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot h$，要使体积最大，只需顶点 $D$ 到平面 $ABC$ 的距离 $h$ 最大。
2. 第二步逻辑（运动轨迹分析）：设正方形对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$。折起过程中， $DO\perp AC$ 始终成立。顶点 $D$ 实质上是在以 $AC$ 为轴、以 $DO$ 为半径的圆周上运动。当平面 $DAC\perp \text{平面 }BAC$ 时，顶点 $D$ 到平面 $ABC$ 的垂直高度 $h$ 达到最大值，此时 $h=DO$。
3. 第三步逻辑（计算线面角）：在体积最大的临界状态下（平面 $DAC\perp \text{平面 }BAC$），过点 $D$ 作平面 $ABC$ 的垂线，垂足恰好落在对角线交点 $O$ 处。连接 $BO$，则 $\angle DBO$ 即为直线 $BD$ 与平面 $ABC$ 所成的角。在 $\text{Rt}△DOB$ 中求解该角。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 体积最大时的临界空间形态判定： 设正方形 $ABCD$ 的棱长为 1，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。 根据正方形的性质，对角线互相垂直平分且相等： $DO\perp AC,BO\perp AC,且DO=BO=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 沿对角线 $AC$ 将 $△DAC$ 折起时，由于 $DO\perp AC$ 在旋转过程中性质恒等性质保持不变， 点 $D$ 在空间中的运动轨迹是以 $O$ 为圆心、 $DO$ 为半径且垂直于 $AC$ 的圆弧。

  以 $△ABC$ 为三棱锥的底面，其面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BO$ 保持恒定。 要使三棱锥 $D-ABC$ 的体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot h$ 达到最大，必须且只需顶点 $D$ 到平面 $ABC$ 的垂直距离 $h$ 最大。 显见，当且仅当 $△DAC$ 旋转至与平面 $ABC$ 严格垂直时， $D$ 到平面 $ABC$ 的距离 $h$ 达到旋转半径的最大值： $h_{\text{max}}=DO$ 此时： $\text{平面 }DAC\perp \text{平面 }BAC\text{（式1）}$

• 线面角的定义与求解： 在（式1）状态下，因为 $\text{平面 }DAC\perp \text{平面 }BAC$，且两平面交线为 $AC$，又有 $DO\perp AC$。 根据面面垂直的性质定理，直线 $DO$ 严格垂直于底面： $DO\perp \text{平面 }ABC\text{（式2）}$

  由此可知，点 $D$ 在平面 $ABC$ 上的正射影唯一锁定为对角线交点 $O$。 连接 $BO$，则直线 $BO$ 即为斜线 $BD$ 在平面 $ABC$ 内的正射影。 根据线面角的定义，斜线 $BD$ 与其射影 $BO$ 的夹角 $\angle DBO$ 即为直线 $BD$ 和平面 $ABC$ 所成的角。

  因为 $DO\perp \text{平面 }ABC⟹DO\perp BO$，所以在 $\text{Rt}△DOB$ 中： 由于折起过程中线段的物理长度保持恒等性质： $DO=BO=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 这是一个等腰直角三角形，两直角边相等，故其锐角： $\angle DBO=45^{\circ }$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：轴旋转折叠图形中的射影高度最大值控制；线面角在面面垂直状态下的射影化归。
2. 核心方法：空间恒等性质分析法、几何极限状态法。
3. 避坑指南：
   • 误将折起前的对角线夹角 $90^{\circ }$ 错算为空间折起后的线面角：正方形未折叠时 $BD\perp AC$，很多学生在头脑中缺乏动态投影的概念，误选 A。请牢记立体几何铁律：平面图形折叠时，只有“垂直于折痕”的直线（如 $DO\perp AC,BO\perp AC$）在空间中的相对角度会发生改变，而其余平行或垂直关系必须投影到全新的基底平面上重新计算。本题通过体积最大锁定面面垂直，从而将线面角轻松收拢到等腰直角三角形内部。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材立体几何章节关于“多面体与折叠问题”的课后经典创新题，主要考查动态空间想象力。
2. 结论推广: 沿对角线折叠平面图形，折起部分的点到折线所在平面的距离为 $h=DO\sin \alpha$（$\alpha$ 为二面角）。折叠后立体体积随 $\alpha$ 增大而增大，$\alpha =90^{\circ }$ 时最大。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1958-安徽-04 解-三棱锥中截面新锥体积
• 1987-全国文-18 解-三棱锥的体积
• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积