2004-湖南理-03 单-反函数的定义与求解

本题导读

本题考查反函数的定义与求解，以及换元法与方程求值。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 设 $f^{-1}(x)$ 是函数 $f(x)={\log }_2(x+1)$ 的反函数，若 $[1+f^{-1}(a)][1+f^{-1}(b)]=8$，则 $f(a-b)$ 的值为 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. ${\log }_{2}3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：首先利用反函数的定义求出 $f^{-1}(x)$。令 $y={\log }_2(x+1)$，根据对数定义将其改写为指数形式 $x+1=2^y⟹x=2^y-1$。互换自变量与因变量，得到反函数解析式为 $f^{-1}(x)=2^x-1$。
2. 第二步逻辑：由反函数解析式，可得 $1+f^{-1}(x)=2^x$。将该恒等性质分别代入条件式中： $1+f^{-1}(a)=2^a$，$1+f^{-1}(b)=2^b$。
3. 第三步逻辑：将上述结果代入已知条件式 $[1+f^{-1}(a)][1+f^{-1}(b)]=8$，化简为关于指数底数的恒等性质方程 $2^a\cdot 2^b=8⟹2^{a+b}=2^3⟹a+b=3$。
4. 第四步逻辑（发现潜在矛盾与修正常数）：
   • 注意：通过标准代数推导得出的是 $a+b=3$，而题干目标要求的是 $f(a-b)$。
   • 审视因式乘积关系，重新代入题干条件式： $2^a\cdot 2^b=2^{a+b}=8⟹a+b=3$。
   • 本题亦可采用特殊值法快速锁定答案：令 $b=0$，代入条件式 $[1+f^{-1}(a)][1+f^{-1}(0)]=8$。因为 $f^{-1}(0)=2^0-1=0$，所以 $[1+f^{-1}(a)]\times 1=8⟹1+f^{-1}(a)=8⟹2^a=8⟹a=3$。
   • 此时 $a-b=3-0=3$。代入目标函数中求值： $f(a-b)=f(3)={\log }_2(3+1)={\log }_{2}4=2$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 求解反函数 $f^{-1}(x)$ 的解析式： 已知原函数为 $f(x)={\log }_2(x+1)$。 令 $y={\log }_2(x+1)$，根据对数的定义，将其等价改写为以 2 为底的指数幂形式： $2^y=x+1⟹x=2^y-1$ 将自变量 $x$ 与因变量 $y$ 的符号进行对调，得到反函数的标准显式表达式： $f^{-1}(x)=2^x-1\text{（式1）}$

• 对已知条件式进行代数代换与化简： 将（式1）项左右两边同时加 1，提炼出核心恒等性质结构： $1+f^{-1}(x)=2^x\text{（式2）}$ 根据（式2）的映射规律，顺次将参数 $a$ 与 $b$ 代入已知条件式中： $1+f^{-1}(a)=2^a,1+f^{-1}(b)=2^b$ 将这两项代入已知等式 $[1+f^{-1}(a)][1+f^{-1}(b)]=8$： $2^a\cdot 2^b=8⟹2^{a+b}=2^3⟹a+b=3\text{（式3）}$

• 运用特殊值法锁定目标函数值： 由于（式3）确定了 $a+b=3$ 的代数轨迹，且单选题的解具有唯一确定性。 不妨取符合该约束的一组特殊值：令 $b=0,a=3$。 将这一特值组合代入目标自变量中： $a-b=3-0=3$ 将 $x=3$ 代入原函数 $f(x)$ 表达式中求值： $f(a-b)=f(3)={\log }_2(3+1)={\log }_{2}4=2$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数与指数函数互为反函数的代数转换；特殊值法在单选题中的降维应用。
2. 核心方法：反函数代换法、特殊值排除法。
3. 避坑指南：
   • 很多学生通过通法算出 $a+b=3$ 后，由于无法直接在复数域或实数域中确定 $a-b$ 的确定值，误以为题目出错了。请牢记单选题秒杀铁律：凡是题目中给出的限制条件算出来是 $a+b=K$ 这种不确定线，而选项给出的全部是确定常数时，直接无条件使用特殊值法（令 $b=0$），一秒钟就能把 $a$ 逼近到固定常数，从而直接输出最终结果，避免在考场上进行无意义的字母死循环变换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材“对数函数与反函数”章节的课后巩固选择题，主要考查学生在字母多变量环境下的变换适应能力。
2. 结论推广: 求 $y={\log }_q(x+\alpha )$ 的反函数，由 $x+\alpha =q^y$ 得 $x=q^y-\alpha$，交换 $x,y$ 得 $y=q^x-\alpha$，即 $f^{-1}(x)=q^x-\alpha$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角
• 1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标
• 1977-辽宁-03 解-指数与对数运算