2004-湖南理-02 单-双曲线准线

本题导读

已知双曲线上一点到右焦点的距离，利用第二定义（焦半径与到准线距离之比为离心率）直接求点到右准线的距离，避免繁琐的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷） 如果双曲线 $\frac{x^2}{13}-\frac{y^2}{12}=1$ 上一点 $P$ 到右焦点的距离等于 $\sqrt{13}$，那么点 $P$ 到右准线的距离是（ ） A. $\frac{13}{5}$ B. $13$ C. $5$ D. $\frac{5}{13}$

🔍【思路分析】

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1. 定参数：由双曲线标准方程读出 $a^2=13$，$b^2=12$，进而 $c^2=a^2+b^2=25$，得 $a=\sqrt{13}$，$c=5$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{\sqrt{13}}$。
2. 用定义：点 $P$ 在双曲线右支上，由第二定义知 $\frac{PF}{PM}=e$（$PM$ 为 $P$ 到右准线的距离），故 $PM=\frac{PF}{e}$。
3. 代值算：$PM=\sqrt{13}÷\frac{5}{\sqrt{13}}=\frac{13}{5}$，对照选项得答案。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $a^2=13$，$b^2=12$，$c^2=25$，$c=5$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{\sqrt{13}}$。由圆锥曲线第二定义 $PF=e\cdot PM$，得 $PM=\frac{PF}{e}=\sqrt{13}÷\frac{5}{\sqrt{13}}=\frac{13}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的标准方程与几何性质（$a,b,c,e$ 的关系）；圆锥曲线第二定义（焦半径与到对应准线距离之比等于离心率）。

核心方法：定义法——凡涉及焦半径、焦点弦、点到准线距离的问题，优先考虑第二定义，实现”焦半径”与”准线距离”的相互转化。

避坑指南：① 注意”右焦点对应右准线”，不可与左准线混用；② 双曲线中 $c^2=a^2+b^2$（与椭圆 $a^2=b^2+c^2$ 相反），求 $c$ 时勿套错公式；③ 离心率 $e=\frac{c}{a}>1$，计算时勿把 $e$ 与 $\frac{1}{e}$ 弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于人教A版选修”圆锥曲线的统一定义”，考查双曲线第二定义的直接应用，是焦半径公式 $PF=e\cdot PM$ 的基础题型，体现”定义优先”的解题策略。

结论推广：对双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，右支上点 $P$ 满足 $P{F}_{\text{右}}=e{x}_0-a$，$P{F}_{\text{左}}=e{x}_0+a$；点到右准线距离 $PM=x_0-\frac{a^2}{c}$，二者之比恒为 $e$。

方法推广：椭圆、双曲线、抛物线均可统一用第二定义处理”焦半径—准线距离”互化问题；抛物线中 $e=1$，焦半径等于到准线距离，是定义法的特例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.03 双曲线的几何性质
• 02.04 圆锥曲线的统一定义

类题演练 (Links)