2004-湖南理-01 单-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及分母实数化。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 复数 ${\left(1+\frac{1}{\text{i}}\right)}^4$ 的值是 ()

A. $4\text{i}$　　　　　　　B. $-4\text{i}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $-4$

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑：首先对括号内部的代数式 $1+\frac{1}{\text{i}}$ 进行化简。利用分母实数化分子分母同乘以 $-\text{i}$（或由 ${\text{i}}^2=-1$ 知 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$），将原式转化为 $1-\text{i}$。
2. 第二步逻辑：对 $(1-\text{i}{)}^4$ 进行降阶运算。可将其改写为二阶完全平方的平方，即 ${\left[(1-\text{i}{)}^2\right]}^2$。
3. 第三步逻辑：计算 $(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}+{\text{i}}^2=-2\text{i}$，再对结果求平方。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 括号内部代数式化简： 根据虚数单位 $\text{i}$ 的性质，对 $\frac{1}{\text{i}}$ 进行分母实数化： $\frac{1}{\text{i}}=\frac{1\cdot \text{i}}{\text{i}\cdot \text{i}}=\frac{\text{i}}{{\text{i}}^2}=\frac{\text{i}}{-1}=-\text{i}$ 代入原式内部，可得： $1+\frac{1}{\text{i}}=1-\text{i}\text{（式1）}$

• 高次幂降阶运算： 将（式1）代入原整式中，利用指数幂运算律进行降阶： ${\left(1+\frac{1}{\text{i}}\right)}^4=(1-\text{i}{)}^4={\left[(1-\text{i}{)}^2\right]}^2\text{（式2）}$ 利用完全平方公式展开括号内部： $(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}+{\text{i}}^2$ 因为 ${\text{i}}^2=-1$，代入消去常数项： $(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}-1=-2\text{i}\text{（式3）}$

• 最终求值： 将（式3）结果代回（式2）中： $(1-\text{i}{)}^4=(-2\text{i}{)}^2=(-2{)}^2\cdot {\text{i}}^2=4\cdot (-1)=-4$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数基本恒等性质 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ ；特殊复数的完全平方特征 $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$。
2. 核心方法：幂次拆分降阶法。
3. 避坑指南：
   • 避免盲目直接使用二项式定理对 $(1-\text{i}{)}^4$ 进行展开，虽然结果一致但运算步骤多，易在组合数系数或 $\text{i}$ 的高次幂符号上产生算术笔误。
   • 牢记 $(-2\text{i}{)}^2$ 负号经平方变正，而 ${\text{i}}^2$ 再次贡献负号，最终结果应为 $-4$，切勿混淆符号错选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“数集的扩展与复数的概念”章节的基础计算题，是高考考查复数基本运算功底的标配首题。
2. 结论推广: 一般地，在复平面上，复数 $z=1\pm \text{i}$ 对应的模长为 $\sqrt{2}$，辐角主值为 $\pm \frac{\pi }{4}$。根据隶莫弗定理（De Moivre’s Theorem），其 $n$ 次幂在复指数空间可表征为 $z^n=(\sqrt{2}{)}^n\cdot e^{\pm \frac{n\pi }{4}\text{i}}$。当 $n=4$ 时，辐角改变 $\pi$，模长变为 4，在复平面上恰好旋转至实轴负半轴，因此其代数结果必然锁定为纯实数 $-4$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 2009-新课标Ⅰ文-02 单-复数除法
• 1980-全国文-01 解-复数的除法化简