2004-湖南文-09 单-导数图象识别

本题导读

本题考查二次函数图象与导函数的图象关系。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 若函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 的图象的顶点在第四象限，则函数 $f^{\prime }(x)$ 的图象是()

（A）	（B）
（C）	（D）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 顶点 $(-\frac{b}{2},c-\frac{b^2}{4})$ 在第四象限：$-\frac{b}{2}>0$ 即 $b<0$。
2. $f^{\prime }(x)=2x+b$ 是斜率 $2$、纵截距 $b<0$ 的直线。
3. 图象为过 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴负半轴的上升直线，选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2},c-\frac{b^2}{4}\right)$，顶点在第四象限要求横坐标 $-\frac{b}{2}>0$（即 $b<0$）且纵坐标 $c-\frac{b^2}{4}<0$.而 $f^{\prime }(x)=2x+b$ 是一条斜率为 $2$、纵截距为 $b<0$ 的直线，其图象从左下向右上倾斜，与 $y$ 轴交于负半轴，与 $x$ 轴交于正半轴，对照各选项应为 A，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数图象识别
2. 核心方法：顶点在第四象限：$f(x)=x^2+bx+c$ 顶点 $(-\frac{b}{2},c-\frac{b^2}{4})$，$-\frac{b}{2}>0$ 且 $c-\frac{b^2}{4}<0$，故 $b<0$；$f^{\prime }(x)=2x+b$ 是斜率 $2$、截距 $b<0$ 的直线，图象为过 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴负半轴的上升直线
3. 避坑指南：顶点在第四象限 $\Rightarrow$ 横坐标 $>0$ 即 $b<0$；$f^{\prime }(x)=2x+b$ 的图象由 $b<0$ 定截距，认准 $b<0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数与图象，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：$f^{\prime }(x)$ 的图象由 $f$ 的系数定（直线截距、开口）；由顶点位置定 $b$ 符号，再画 $f^{\prime }$ 图象

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2008-福建文-11 单-导数图象判定
• 2009-湖南卷文-07 单-导数图象凹凸
• 2006-北京文-16 解-导数图象与极值定参