2004-湖南文-05 单-折叠与线面角

本题导读

本题考查平面图形的折叠，以及线面角与体积最值的关系。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 把正方形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折起，当以 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 $BD$ 和平面 $ABC$ 所成的角的大小为()

A. $90^{\circ }$　　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　　D. $30^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 体积最大 $⟺$ 二面角 $B-AC-D$ 为直二面角（$D$ 到面 $ABC$ 距离最大）。
2. 此时 $D$ 在面 $ABC$ 的射影是 $AC$ 的中点。
3. $BD$ 与面 $ABC$ 所成角为 $45^{\circ }$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设正方形边长为 $a$，折起后三棱锥 $D-ABC$ 的底为 $△ABC$（固定），其体积取决于 $D$ 到平面 $ABC$ 的高。当二面角 $B-AC-D$ 为直二面角，即平面 $ABD$（或 $ACD$）垂直于平面 $ABC$ 时，$D$ 到平面 $ABC$ 的距离最大，体积最大。此时 $D$ 在平面 $ABC$ 上的射影恰为 $AC$ 的中点 $O$，而 $BD$ 在平面 $ABC$ 内的射影为 $BO$（$O$ 为 $AC$ 中点），$△BOD$ 中 $OD=OB=\frac{a}{2}$，$\angle DBO$ 为所求线面角，满足 $\tan \angle DBO=1$，即 $\angle DBO=45^{\circ }$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：折叠与线面角
2. 核心方法：体积最大时面 $ABD$ 与 $BCD$ 均垂直于面 $ABC$ 且折成直二面角，$D$ 在面 $ABC$ 的射影恰为 $AC$ 中点，$BD$ 与面 $ABC$ 所成角为 $45^{\circ }$
3. 避坑指南：折起体积最大 $⟺$ 二面角 $B-AC-D$ 为直二面角；线面角在 $BD$ 与射影构成的直角三角形中求

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于折叠与线面角，教材”空间点线面”
2. 结论推广: 一般化：折叠体积最大 $⟺$ 直二面角；由体积最值定二面角，再求线面角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-湖南卷文-18 解-平面图形折叠成直二面角
• 2006-江苏卷-19 解-折叠二面角与线面角
• 2009-福建卷文-20 解-折叠与线面垂直