2004-湖北理-15 填-集合的包含关系与子集定义

本题导读

本题考查集合的包含关系与子集定义，以及子集的否定。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 设 $A、B$ 为两个集合.下列四个命题： ① $A⊈B⟺$ 对任意 $x\in A$，有 $x\notin B$； ② $A⊈B⟺A\cap B=\varnothing$； ③ $A⊈B⟺A⊉B$； ④ $A⊈B⟺$ 存在 $x\in A$，使得 $x\notin B$. 其中真命题的序号是 $\underline{}$.（把符合要求的命题序号都填上）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾定义：$A\subseteq B$ 指对任意 $x\in A$，都有 $x\in B$。
2. 否定转换：$A⊈B$ 是上述全称命题的否定，“任意”变”存在”，"$x\in B$"变"$x\notin B$"。
3. 判定各命题：由转换知 $A⊈B$ 的充要条件是”存在 $x\in A$，使得 $x\notin B$“，故 ④ 真、① 假；用反例或韦恩图判定 ②、③。

✅【答案】

Success

$\text{(4)}$

✍【详细解析】

Abstract

• 从子集定义出发作全称否定 子集关系 $A\subseteq B$ 的定义为： $\forall x\in A,\text{恒有 }x\in B$ $A⊈B$ 即上述命题的否定。“对任意”的否定是”存在”，“属于”的否定是”不属于”，故： $\exists x\in A,\text{使得 }x\notin B$ 这与命题 ④ 一致，故 ④ 是真命题。

• 逐一排除其他命题

  • ①：右侧 $\forall x\in A,x\notin B$ 表示 $A$ 中所有元素都不在 $B$ 中，即 $A$ 与 $B$ 完全分离。但 $A⊈B$ 只需 $A$ 中有部分元素不在 $B$ 中即可（如两集合相交但 $A$ 有元素在 $B$ 外）。故 ① 是假命题。

  • ②：右侧 $A\cap B=\varnothing$ 表示两集合无交集。若 $A$ 与 $B$ 有交集且 $A$ 有元素在 $B$ 外，满足 $A⊈B$，但 $A\cap B\ne \varnothing$。例如 $A=\{1,2\},B=\{2,3\}$，$A⊈B$，但 $A\cap B=\{2\}\ne \varnothing$。故 ② 是假命题。

  • ③：左侧 $A⊈B$ 指 $A$ 有元素不在 $B$ 中；右侧 $A⊉B$（即 $B⊈A$）指 $B$ 有元素不在 $A$ 中。两者不等价。例如 $A=\{1,2\},B=\{1,2,3\}$，此时 $A\subseteq B$，$A⊈B$ 为假；但 $B⊈A$，$A⊉B$ 为真。故 ③ 是假命题。

填空题最终答案为： ④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：子集关系的逻辑量词表述；全称命题否定的规范表达。
2. 核心方法：量词否定法、反例排除法。
3. 避坑指南：
   • 把”不是子集”误解为”完全没有交集”，导致错选 ① 或 ②。注意 $A⊈B$ 只要求 $A$ 有一部分元素在 $B$ 外，至于露在外面的是全部（①、②情形）还是部分（两圆相交），不影响 $A⊈B$ 成立。只有存在性命题 ④ 才是等价表述。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查集合基本关系与逻辑量词的概念辨析。
2. 结论推广: $A\subseteq B$ 等价于 $A\cap {\complement }_{\mathcal{U}}B=\varnothing$；其否定 $A⊈B$ 等价于 $A\cap {\complement }_{\mathcal{U}}B\ne \varnothing$，即 $\exists x(x\in A\wedge x\notin B)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-04 单-集合的包含关系
• 2006-辽宁文-02 单-集合并集定子集个数
• 2009-广东卷文-01 单-韦恩图