2004-湖北理-14 填-排列组合与计数原理

本题导读

本题考查排列组合与计数原理，以及错位排列问题。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 将标号为 $1,2,\dots ,10$ 的 10 个球放入标号为 $1,2,\dots ,10$ 的 10 个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 $\underline{}$种.（以数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选位：“恰好有 3 个球不一致”等价于”恰好有 7 个球标号与盒子一致”。先从 10 个盒子中选 3 个用来放错位球，选法 ${\text{C}}_{10}^3$（或 ${\text{C}}_{10}^7$）种。
2. 错排：剩下的 3 个球放入 3 个盒子且全不对号，即 3 个元素的全错位排列，$D_3=2$。
3. 乘法原理：总数为 ${\text{C}}_{10}^3\times D_3$。

✅【答案】

Success

$240$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：选出放错位球的盒子 恰好有 3 个球错位，其余 7 个球必须放进同标号的盒子。从 10 个盒子中选 3 个用来放错位球： ${\text{C}}_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120\text{（式1）}$

• 第二步：计算 3 个元素的错位排列数 设选出的 3 个盒子标号为甲、乙、丙，对应球为甲、乙、丙。全不对号的情形：

  • 甲盒放乙球 $⟹$ 乙盒放丙球 $⟹$ 丙盒放甲球；
  • 甲盒放丙球 $⟹$ 乙盒放甲球 $⟹$ 丙盒放乙球。

  故 3 个元素的错位排列数： $D_3=2\text{（式2）}$

• 第三步：分步计数原理相乘 $N={\text{C}}_{10}^3\times D_3=120\times 2=240$

填空题最终答案为： 240。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数 ${\text{C}}_n^m$ 的运算；低阶错位排列数 $D_3=2$；分步计数原理。
2. 核心方法：分步计数法、错排公式法。
3. 避坑指南：
   • 把”恰好 3 个”算成”至少 3 个”或”至多 3 个”：审题时注意”恰好”二字，其余 7 个位置只能对号入座，仅 1 种方案。
   • 记住常用错排数可加快计算： $D_1=0,D_2=1,D_3=2,D_4=9,D_5=44$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查排列组合中的错位排列（信帽错配）问题。
2. 结论推广: 将 $n$ 个标号元素放入 $n$ 个同标号位置，恰好有 $m$ 个元素错位的计数为 $N={\text{C}}_n^m\cdot D_m$，其中 $D_m$ 为 $m$ 阶全错排数，可由容斥原理表示为 $D_m=m!\cdot {\sum }_{k=0}^m\frac{(-1{)}^k}{k!}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-广东文-20 单-受限排列计数
• 1985-广东理-23 单-受限排列计数