2004-湖北理-13 填-离散型随机变量的概率分布列

本题导读

本题考查概率分布的全概率性质，以及无穷递缩等比数列求和公式。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 设随机变量 $\xi$ 的概率分布为 $P(\xi =k)=\frac{a}{5^k}$，$a$ 为常数，$k=1,2,\dots$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据离散型随机变量分布列的性质，其包含的所有可能事件的概率具有全称可加性，其和严格满足： ${\sum }_{k=1}^{\infty }P(\xi =k)=1$。
2. 第二步逻辑：将已知的概率通项 $P(\xi =k)=\frac{a}{5^k}$ 代入和式中，提取常数 $a$，转化为关于公比 $q=\frac{1}{15}$ 的无穷递缩等比数列求和： $a\cdot {\sum }_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{5}\right)}^k=1$。
3. 第三步逻辑：套用无穷递缩等比级数求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$，计算出括号内级数的精确值，通过代数运算求出 $a$。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

• 利用全概率恒等性质性质建立方程： 根据离散型随机变量分布列的基本性质，所有可能基本事件的概率之和必然严格等于 1： ${\sum }_{k=1}^{\infty }P(\xi =k)=1\text{（式1）}$ 将已知概率通项代入（式1）中： ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{a}{5^k}=1$

• 提取常数并展开级数： 将与求和指标 $k$ 无关的常数项 $a$ 提取到求和号外部： $a\cdot {\sum }_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{5}\right)}^k=1$ 将级数项顺次展开： $a\cdot \left[\frac{1}{5}+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^3+\cdots +{\left(\frac{1}{5}\right)}^k+\dots \right]=1\text{（式2）}$

• 运用等比级数公式求解常数 $a$： 观察括号内展开式，其本质是一个首项为 $a_1=\frac{1}{5}$，公比为 $q=\frac{1}{5}$ 的无穷递缩等比数列。 由于 $|q|=\frac{1}{5}<1$，级数收敛，套用其极限求和通式 $S=\frac{a_1}{1-q}$： ${\sum }_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{5}\right)}^k=\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{1}{4}\text{（式3）}$ 将（式3）的级数代回方程（式2）中： $a\times \frac{1}{4}=1⟹a=4$

填空题最终答案为： 4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型概率密度的归一化条件（$\sum P_k=1$）；无穷递缩等比数列求和公式的运算。
2. 核心方法：全概率公式法、级数求和法。
3. 避坑指南：
   • 混淆求和公式的项数起点：由于本题中自变量是从 $k=1$ 开始，故级数首项为 $\frac{1}{5}$。部分学生机械记忆教材中从 $k=0$ 开始的级数公式，错将首项代入为 1，导致算错。
   • 必须确保概率满足非负性约束：算得 $a=4⟹P_k=\frac{4}{5^k}>0$，符合概率度量界限。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自大纲版高中数学概率与统计章节关于离散型随机变量分布列基本性质的填空题，属于经典基础题。
2. 结论推广: 若 $P(\xi =k)=a\cdot q^k(k\in {\mathbf{N}}^{\ast })$ 是分布列，则 ${\sum }_{k=1}^{\infty }a{q}^k=\frac{aq}{1-q}=1$，故 $a=\frac{1-q}{q}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 23.02 全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型

类题演练 (Links)

• 1977-宁夏-09 解-等比数列求和
• 1977-安徽文-09 解-等比增长求和
• 1998-上海文-10 填-等差中项与数列求和