2004-湖北理-12 单-三角函数应用

本题导读

本题考查三角函数模型的实际应用，以及正弦型函数解析式的确定。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 设 $y=f(t)$ 是某港口水的深度 $y$（米）关于时间 $t$（时）的函数，其中 $0\le t\le 24$，下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 $t$ 与水深 $y$ 的关系：

$t$	0	3	6	9	12	15	18	21	24
$y$	12	15.1	12.1	9.1	11.9	14.9	11.9	8.9	12.1

经长期观察，函数 $y=f(t)$ 的图象可以近似地看成函数 $y=k+A\sin (\omega t+\phi )$ 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ()

A. $y=12+3\sin \frac{\pi }{6}t$, $t\in [0,24]$

B. $y=12+3\sin \left(\frac{\pi }{6}t+\pi \right)$, $t\in [0,24]$

C. $y=12+3\sin \frac{\pi }{12}t$, $t\in [0,24]$

D. $y=12+3\sin \left(\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{2}\right)$, $t\in [0,24]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（求平衡位置与振幅）：观察表中数据，水深的极大值约在 $15$ 左右（$3$ 时为 $15.1$，$15$ 时为 $14.9$），极小值约在 $9$ 左右（$9$ 时为 $9.1$，$21$ 时为 $8.9$）。
   • 波动中心（平衡位置） $k\approx \frac{15+9}{2}=12$。
   • 波动振幅 $A\approx \frac{15-9}{2}=3$。
   • 四个选项的 $k=12,A=3$ 完全齐次一致，无需基于此做排除。
2. 第二步逻辑（求周期与角速度）：寻找数据的重复周期。水深从 $3$ 时达到最大值 $15.1$，经历落潮后再涨潮，到 $15$ 时再次达到最大值 $14.9$。两个相邻波峰之间的时间跨度为 $\Delta t=15-3=12$ 小时，即该正弦模型的近似周期 $T=12$。
   • 由周期公式 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$。
   • 依据 $\omega =\frac{\pi }{6}$，可直接排除包含 $\frac{\pi }{12}$ 的 (C) 和 (D) 选项。
3. 第三步逻辑（求初相）：在剩下的 (A) 和 (B) 中利用特殊点进行初相过滤。代入 $t=3$ 时，实际测量水深 $y\approx 15$。核验 (A) 和 (B) 在 $t=3$ 时的输出值，锁定最优解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 通过测量数据的极值提取波动参数： 分析表格中的水深数据流动特征：

  • 水深的近似极大值（波峰）为： $y_{\text{max}}\approx 15$（分别在 $t=3,15$ 处取得）；
  • 水深的近似极小值（波谷）为： $y_{\text{min}}\approx 9$（分别在 $t=9,21$ 处取得）．

  由正弦型函数图象参数公式控算：

  • 垂直偏置（平衡中轴线）： $k=\frac{y_{\text{max}}+y_{\text{min}}}{2}=\frac{15+9}{2}=12$
  • 振幅（波动半径）： $A=\frac{y_{\text{max}}-y_{\text{min}}}{2}=\frac{15-9}{2}=3$ 这与四个选项中前置代数骨架 $y=12+3\sin (\omega t+\phi )$ 完全契合。

• 通过波峰间距提取函数的周期与角速度： 观察相邻两个波峰（极大值点）所对应的时间： 第一个波峰在 $t_1=3$ 时取得，第二个波峰在 $t_2=15$ 时取得。 因此，该潮汐波动的变化周期为： $T=t_2-t_1=15-3=12\text{ 小时}$ 根据正弦函数角速度与周期的转换通式： $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$ 由此可排除选项 (C) 和 (D)。

• 通过特殊点代入确定初相 $\phi$： 当前候选解析式聚焦在 (A) 和 (B) 之间：

  • 核验选项 (A) $y=12+3\sin \frac{\pi }{6}t$： 将 $t=3$ 代入，计算其理论预测输出值： $y=12+3\sin \left(\frac{\pi }{6}\times 3\right)=12+3\sin \frac{\pi }{2}=12+3\times 1=15$ 该理论值 $15$ 与实际测量值 $15.1$ 极其接近，误差仅为 $0.1$。

  • 核验选项 (B) $y=12+3\sin \left(\frac{\pi }{6}t+\pi \right)$： 将 $t=3$ 代入，计算其理论预测输出值： $y=12+3\sin \left(\frac{\pi }{6}\times 3+\pi \right)=12+3\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=12+3\sin \frac{3\pi }{2}=12+3\times (-1)=9$ 该理论值 $9$ 与实际测量值 $15.1$ 存在颠覆性背离（理论上此时处于波谷，实际上处于波峰）。故排除 (B)．

综上所述，最能近似表示表中数据对应关系的函数是 (A)。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由实际散点数据抽象正弦函数特征参数（$A=\frac{\text{max}-\text{min}}{2},k=\frac{\text{max}+\text{min}}{2}$）；相邻波峰间距等于一个周期的时域判定。
2. 核心方法：特殊点代入排除法、周期估算法。
3. 避坑指南：
   • 盲目使用 $t=0$ 处的散点数据去推算初相：很多学生习惯令 $t=0,y=12$，代入解析式得 $12=12+3\sin \phi ⟹\sin \phi =0⟹\phi =0$ 或 $\pi$。此时发现 (A) 的 $\phi =0$ 和 (B) 的 $\phi =\pi$ 都满足这一条件，从而陷入二选一的死胡同。请记住：实际测量数据通常带有随机噪声噪声（如 $t=0$ 时实际为 $12$， $t=12$ 时为 $11.9$），单一非极值点极易产生多值歧义。在指对或三角函数拟合中，无条件首选“波峰或波谷（极值点）”进行最后一步的锁定，因为极值点处的导数为 0，具有最强的排他性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学大纲版三角函数应用章节中关于“利用正弦型函数拟合潮汐规律”的经典应用题。
2. 结论推广: 由正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象或数据确定 $\omega$，常利用周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 与已知点的横坐标关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1977-江西-13 填-正弦型函数振幅周期
• 1987-上海-06 填-含绝对值三角函数的周期
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断