2004-湖北理-11 单-直线与平面所成的角

本题导读

本题考查直线与平面所成的角，以及二面角的几何结构。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 已知平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 所成的二面角为 $80^{\circ }$，$P$ 为 $\alpha ,\beta$ 外一一定点，过点 $P$ 的一条直线与 $\alpha ,\beta$ 所成的角都是 $30^{\circ }$，则这样的直线有且仅有 ()

A. 1 条　　　　　B. 2 条　　　　　C. 3 条　　　　　D. 4 条

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆锥面轨迹：过点 $P$ 且与平面 $\alpha$ 成 $30^{\circ }$ 角的直线有无数条，构成以 $P$ 为顶点、以过 $P$ 且垂直于 $\alpha$ 的法线为轴的圆锥面（母线与平面成 $30^{\circ }$，即与法线成 $90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$）。
2. 两圆锥面求交：与平面 $\beta$ 成 $30^{\circ }$ 的直线构成另一圆锥面，满足题意的直线即两圆锥面的交线。
3. 临界角判定：两轴（两平面法线）所成角等于二面角或其补角，即 $80^{\circ }$ 或 $100^{\circ }$。
   • 轴线夹角 $80^{\circ }$ 时，半顶角均为 $60^{\circ }$，$60^{\circ }+60^{\circ }=120^{\circ }>80^{\circ }$ 且 $|60^{\circ }-60^{\circ }|=0^{\circ }<80^{\circ }$，两圆锥面相交，产生 2 条交线；
   • 轴线夹角 $100^{\circ }$ 时，同样产生 2 条交线。
4. 共 $2+2=4$ 条。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 把线面角转化为圆锥面 设过点 $P$ 的动直线为 $l$。

  1. 若 $l$ 与平面 $\alpha$ 成 $30^{\circ }$ 角：过 $P$ 作平面 $\alpha$ 的法线为轴，则 $l$ 与轴的夹角恒为 $90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$。故 $l$ 的轨迹是以 $P$ 为顶点、半顶角为 $60^{\circ }$ 的双向圆锥面 ${\mathcal{M}}_1$。
  2. 同理，若 $l$ 与平面 $\beta$ 成 $30^{\circ }$ 角：过 $P$ 作平面 $\beta$ 的法线为轴，$l$ 与轴的夹角也为 $60^{\circ }$，轨迹为另一圆锥面 ${\mathcal{M}}_2$。

• 分析两轴夹角 已知 $\alpha$ 与 $\beta$ 的二面角为 $80^{\circ }$。过同一点 $P$ 的两平面法线所成的锐角等于二面角： $\theta =80^{\circ }$ 其邻角（钝角）为： ${\theta }^{\prime }=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$

• 判定两圆锥面交线数量 满足条件的直线同时位于 ${\mathcal{M}}_1$ 与 ${\mathcal{M}}_2$ 上，即两圆锥面的交线。

  1. 轴线夹角为 $80^{\circ }$ 的区域：两圆锥半顶角均为 $\gamma =60^{\circ }$。因 $\gamma +\gamma =120^{\circ }>80^{\circ }$，且 $|\gamma -\gamma |=0^{\circ }<80^{\circ }$，两圆锥面相交，有 2 条交线。

  2. 轴线夹角为 $100^{\circ }$ 的区域：$\gamma +\gamma =120^{\circ }>100^{\circ }$，$0^{\circ }<100^{\circ }$，两圆锥面同样相交，有 2 条交线。

  综上，交线总数为： $2+2=4\text{ 条}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角的旋转不变性（圆锥面模型）；二面角的分域判定。
2. 核心方法：圆锥面轨迹法。
3. 避坑指南：
   • 只看平面截面，误以为只有角平分线方向（2 条）满足条件而错选 B。注意：空间中与平面成固定角的动直线轨迹是”圆锥面”而非几条孤立直线，须通过半顶角之和与两轴夹角的比较来计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查空间线面角与二面角的概念辨析，需借助动态轨迹观点。
2. 结论推广: 过空间一点 $P$ 且与某平面成定角 $\alpha$ 的直线，构成以该平面过点 $P$ 的法线为轴、半顶角为 $90^{\circ }-\alpha$ 的圆锥面；与两个平面都成 $\alpha$ 的直线即两个此类圆锥面的交线，交线条数由 $\alpha$ 与二面角的大小关系决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切