2004-湖北理-10 单-集合与含参不等式

本题导读

由二次不等式恒成立求出集合 $Q$，再与已知区间 $P$ 比较，判断两集合的包含关系。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷） 设集合 $P=\{m\mid -1<m<0\}$，$Q=\{m\in \mathbf{R}\mid m{x}^2+4mx-4<0\text{对任意实数}x\text{恒成立}\}$，则下列关系中成立的是（ ） A. $P⫋Q$ B. $Q⫋P$ C. $P=Q$ D. $P\cap Q=\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先看二次项系数：$m=0$ 时不等式退化为一次不等式，需单独验证是否恒成立；
2. 再论 $m\ne 0$：由二次不等式对任意实数恒成立，需开口向下且判别式小于零，联立解得 $m$ 的范围；
3. 比较集合：写出 $Q$ 的区间表示，与 $P$ 对照判断真包含关系。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

当 $m=0$ 时 $-4<0$ 恒成立，故 $0\in Q$；当 $m\ne 0$ 时，需 $m<0$ 且 $\Delta =16m^2+16m=16m(m+1)<0$，即 $-1<m<0$。故 $Q=\{m\mid -1<m⩽0\}$，而 $P=\{m\mid -1<m<0\}$，所以 $P⫋Q$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合间的包含关系判断；含参二次不等式在 $\mathbf{R}$ 上恒成立的条件（开口方向与判别式）。

核心方法：分类讨论法（按二次项系数是否为零分类）、判别式法。

避坑指南：① 忽略 $m=0$ 的退化情形，直接套用 $\Delta <0$ 会漏掉 $0\in Q$，从而误判为 $P=Q$；② 二次不等式恒成立必须同时满足 $m<0$ 与 $\Delta <0$，只列 $\Delta <0$ 会扩大范围；③ 比较集合时注意 $Q$ 含端点 $0$ 而 $P$ 不含，故为真包含而非相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二次函数图象与不等式恒成立的经典模型，考查”二次项系数含参”时需先讨论退化情形，是含参问题分类讨论的典型载体。

结论推广：$a{x}^2+bx+c<0$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立 $\iff$ $a=b=0,c<0$ 或 $a<0,\Delta <0$；若改为 $>0$ 恒成立则对应 $a>0,\Delta <0$。

方法推广：含参不等式恒成立问题可转化为最值问题（分离参数求最值）或图象法（开口与判别式），本题用图象特征直接刻画更为简洁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.02 集合间的基本关系
• 02.03 一元二次不等式及其解法

类题演练 (Links)