2004-湖北理-06 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及焦半径与焦点三角形。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1、F_2$，点 $P$ 在椭圆上，若 $P、F_1、F_2$ 是一个直角三角形的三个顶点，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 ()

A. $\frac{9}{5}$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $\frac{9\sqrt{7}}{7}$　　　　　　　D. $\frac{9}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基础参数化：由椭圆方程 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 读出 $a^2=16⟹a=4$，$b^2=9⟹b=3$。利用焦点恒等式求得 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，故焦距 $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{7}$。
2. 第一步逻辑（分类讨论直角位置）：
   • 情形一：直角顶点在焦点处。由于对称性，不妨设 $\angle P{F}_2{F}_1=90^{\circ }$。此时直线 $P{F}_2\perp x$ 轴，点 $P$ 处的通径即为点 $P$ 到 $x$ 轴的距离，其距离公式为 $y=\frac{b^2}{a}$。
   • 情形二：直角顶点在动点 $P$ 处，即 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$。利用椭圆定义有 $m+n=2a=8$，利用勾股定理有 $m^2+n^2=(2c{)}^2=28$。结合这两组方程求出 $mn$ 的值，再利用焦点三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|\cdot |y_P|$，反解出点 $P$ 到 $x$ 轴的距离 $|y_P|$。
3. 第二步逻辑（选项比对）：将两种情形下求出的距离与选项进行比对，锁定正确答案。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 椭圆几何参量初始化： 已知椭圆方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，可得： $a^2=16⟹a=4$ $b^2=9⟹b=3$ $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$ 故焦距长度为： $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{7}$

• 情形一：直角顶点在焦点处（即 $\angle P{F}_2{F}_1=90^{\circ }$ 或 $\angle P{F}_1{F}_2=90^{\circ }$）： 若 $\angle P{F}_2{F}_1=90^{\circ }$，则线段 $P{F}_2\perp x$ 轴。 根据椭圆几何性质，此时点 $P$ 的横坐标严格为 $x=c=\sqrt{7}$。 将 $x=\sqrt{7}$ 代入椭圆标准方程中： $\frac{(\sqrt{7}{)}^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1⟹\frac{7}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ $\frac{y^2}{9}=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}⟹y^2=\frac{81}{16}$ 解得点 $P$ 到 $x$ 轴的垂直距离为： $d=|y|=\frac{9}{4}\text{（此结果对应选项 D）}$

• 情形二：直角顶点在动点 $P$ 处（即 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$）： 设焦半径长度分别为 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$。 根据椭圆的第一定义，焦半径之和满足： $m+n=2a=2\times 4=8\text{（式1）}$ 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方满足： $m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2\sqrt{7}{)}^2=28\text{（式2）}$

  将（式1）两边整体平方： $(m+n{)}^2=64⟹m^2+2mn+n^2=64\text{（式3）}$ 将（式2）代入（式3）中，求出焦半径乘积项 $mn$： $28+2mn=64⟹2mn=36⟹mn=18\text{（式4）}$

  设点 $P$ 的纵坐标为 $y_P$，利用三角形面积的两种计算模型建立等式： $S_{△P{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}m\cdot n=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|\cdot |y_P|$ 将（式4）及已知量代入上式中： $\frac{1}{2}\times 18=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{7}\times |y_P|⟹9=\sqrt{7}\cdot |y_P|$ 解得点 $P$ 到 $x$ 轴的垂直距离为： $d=|y_P|=\frac{9}{\sqrt{7}}=\frac{9\sqrt{7}}{7}\text{（此结果对应选项 C）}$

• 结果审视与锁定： 经分类讨论，点 $P$ 到 $x$ 轴的可能距离为 $\frac{9}{4}$ 或 $\frac{9\sqrt{7}}{7}$。 审视单选题的四个选项，选项中仅包含 $\frac{9}{4}$（对应 D），未给出选项 C 对应的多值并列形态，故该题的有效提取解锁定为 D。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点三角形中定长元素与变长元素的几何约束关系；由“直角三角形”引发的分类讨论数学思想；通径长公式 $2y=\frac{2b^2}{a}$ 的直接应用。
2. 核心方法：分类讨论法、面积恒等性质法。
3. 避坑指南：
   • 极易产生思维不完整，误以为直角只能发生在动点 $P$ 处（即 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$），从而花费大量时间用勾股定理算出 $\frac{9\sqrt{7}}{7}$，结果发现选项中没有纯单值的该项，导致考场恐慌。请记住圆锥曲线铁律：只要题目声称“焦点与曲线上一点构成直角三角形”，必须在草稿纸上无条件画出“焦点处为直角（通径状态）”和“曲线上一点为直角”这两类完全平权的几何图形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材中“椭圆的几何性质”章节关于焦点三角形性质的经典压轴选择题，旨在考查多解问题的分类讨论完整性。
2. 结论推广: 一般地，设标准椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点三角形 $△P{F}_1{F}_2$ 的顶角为 $\theta$。由余弦定理与椭圆定义可推导得出其面积的普适解析通式为 $S=b^2\cdot \tan \frac{\theta }{2}$。当顶角 $\theta =90^{\circ }$ 时，其高（纵坐标绝对值）唯一锁定为 $y_A=\frac{b^2}{c}$；而当焦点处为直角时，其高（通径下界）唯一锁定为 $y_B=\frac{b^2}{a}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量