2004-湖北理-05 单-不等式的基本性质

本题导读

本题考查不等式的基本性质，以及倒数不等式的性质。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 若 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$，则下列不等式 ① $a+b<ab$；② $|a|>|b|$；③ $a<b$；④ $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}>2$ 中，正确的不等式有 ()

A. 1 个　　　　　B. 2 个　　　　　C. 3 个　　　　　D. 4 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基础前置转化：由 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$ 可知， $a$ 和 $b$ 都是负数。根据倒数不等式的性质（同号两数取倒数，不等号方向改变），由 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}⟹a>b$。结合同为负数的状态，可在数轴上直观判定 $b<a<0$。
2. 特殊值法快速判定：令 $b=-2,a=-1$，核验已知条件 $\frac{1}{-1}<\frac{1}{-2}<0⟹-1<-0.5<0$ 成立。顺次将此特值代入四个子命题中，直接过滤出错误命题，从而确定正确不等式的总个数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 由已知条件确立基础参量关系： 已知 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$，说明 $a,b$ 同为负数，即 $ab>0$。 在不等式 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ 两边同时乘以正数 $ab$： $\frac{1}{a}\cdot ab<\frac{1}{b}\cdot ab⟹b<a$ 结合同为负数，得到确切的实数有界分布链： $b<a<0\text{（式1）}$

• 逐一研判四个不等式的真伪：

  • 对于 ① $a+b<ab$： 由（式1）知 $a<0,y<0$，根据同号相加性质，左侧 $a+b$ 必为负数； 根据同号相乘性质，右侧 $ab$ 必为正数。 任何负数都严格小于正数，故 $a+b<0<ab$ 恒成立。（① 正确）

  • 对于 ② $|a|>|b|$： 在数轴上， $b<a<0$ 表明点 $b$ 到原点的距离严格大于点 $a$ 到原点的距离。 根据绝对值的几何意义，应满足 $|b|>|a|⟹|a|<|b|$。 (亦可用特值验证：若 $b=-2,a=-1$，则 $|-1|=1,|-2|=2$，显然 $1>2$ 错误)。（② 错误）

  • 对于 ③ $a<b$： 由（式1）直接推导得 $b<a$，即 $a>b$。（③ 错误）

  • 对于 ④ $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}>2$： 因为 $b<a<0$，所以 $\frac{b}{a}>0$ 且 $\frac{a}{b}>0$。并且由于 $a\ne b⟹\frac{b}{a}\ne 1$。 根据基本不等式（均值不等式）定理 $x+\frac{1}{x}\ge 2$（当且仅当 $x=1$ 时取等号）： $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b}{a}+\frac{1}{\frac{b}{a}}>2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=2$ 因为 $\frac{b}{a}\ne 1$，等号无法取得，故严格大于 2 恒成立。（④ 正确）

综上所述，完全正确的不等式共有 ① 和 ④ 两个。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同号不等式取倒数符号反转的代数特征；绝对值大小与实数大小负域相反性；基本不等式取等条件的检验。
2. 核心方法：特殊值排除法、数轴几何表征法。
3. 避坑指南：
   • 极易在判断 ② 和 ③ 时掉入正数思维定势。误以为由 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ 直接得出 $a<b$，从而错把 ③ 算对。请牢记：不等式两边同取倒数时，只有在两数严格同号的前提下才可以改变不等号方向。如果实在对负数的大小概念容易混淆，考场上无条件首选令 $b=-2,a=-1$ 这种极简特值代入，可百分之百规避概念混淆引起的马虎。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材“不等式的性质”课后综合练习选择题，属于基础概念辨析题。
2. 结论推广: 一般地，设运算有界链满足 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$。根据解析函数的单调性，其在负实数轴 ${\mathbb{R}}^{-}$ 上诱导的仿射变换具有全序反转特征。对于任意正奇数阶方幂，恒有 $a^n>b^n$；而对于绝对值及正偶数阶方幂，则恒有 $|a{|}^n<|b{|}^n$。其分式乘积项 $x+\frac{1}{x}$ 在非度量孤立点上，被基本不等式图形下界 2 完整确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形