2004-湖北理-03 单-求函数解析式的方法

本题导读

本题考查求函数解析式的方法，以及变量代换与代数式化简。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 已知 $f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1-x^2}{1+x^2}$，则 $f(x)$ 的解析式可取为 ()

A. $\frac{x}{1+x^2}$　　　B. $-\frac{2x}{1+x^2}$　　　C. $\frac{2x}{1+x^2}$　　　D. $-\frac{x}{1+x^2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：采用换元法。令中间变量 $t=\frac{1-x}{1+x}$，需要将右侧的代数式 $\frac{1-x^2}{1+x^2}$ 完全转化为关于 $t$ 的表达式。
2. 第二步逻辑：由 $t=\frac{1-x}{1+x}$ 反解出 $x$。通过交叉相乘和移项，求得 $x=\frac{1-t}{1+t}$。
3. 第三步逻辑：将 $x=\frac{1-t}{1+t}$ 代入右侧的等式 $\frac{1-x^2}{1+x^2}$ 中进行通分化简，整理出关于 $t$ 的有理分式，最后将自变量符号 $t$ 规范替换为 $x$ 即可。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 实施换元并反解自变量： 令 $t=\frac{1-x}{1+x}$，两边交叉相乘： $t(1+x)=1-x⟹t+tx=1-x$ 将含 $x$ 的项移到等式左侧，常数项移到右侧： $tx+x=1-t⟹x(t+1)=1-t$ 解得 $x$ 关于 $t$ 的显式表达式为： $x=\frac{1-t}{1+t}\text{（式1）}$

• 将自变量代入右侧多项式化简： 将（式1）代入原方程右侧的 $\frac{1-x^2}{1+x^2}$ 中： $f(t)=\frac{1-{\left(\frac{1-t}{1+t}\right)}^2}{1+{\left(\frac{1-t}{1+t}\right)}^2}$ 分子与分母同时乘以公分母 $(1+t{)}^2$ 以消除分式： $f(t)=\frac{(1+t{)}^2-(1-t{)}^2}{(1+t{)}^2+(1-t{)}^2}$ 分别展开分子与分母的完全平方式： $f(t)=\frac{(1+2t+t^2)-(1-2t+t^2)}{(1+2t+t^2)+(1-2t+t^2)}$ 合并同类项进行简化： $f(t)=\frac{4t}{2+2t^2}=\frac{2t}{1+t^2}$

• 更换自变量符号： 将自变量符号 $t$ 统一替换为 $x$，得到函数的解析式： $f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$

故选 C

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• 特殊值排除法（秒杀技巧）： 在原方程中令 $x=0$，直接带入可得： $f\left(\frac{1-0}{1+0}\right)=\frac{1-0^2}{1+0^2}⟹f(1)=1$ 将 $x=1$ 分别代入四个选项中，核验其输出值是否严格等于 1：
  • (A) $\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}\ne 1$（排除）
  • (B) $-\frac{2(1)}{1+1^2}=-1\ne 1$（排除）
  • (C) $\frac{2(1)}{1+1^2}=\frac{2}{2}=1$（保留）
  • (D) $-\frac{1}{1+1^2}=-\frac{1}{2}\ne 1$（排除）

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数通过整体换元法反解自变量的通用流程；特殊值法在选择题中的快速降维过滤。
2. 核心方法：换元法、特殊值法。
3. 避坑指南：
   • 在使用换元法展开分子分母时，极其容易在分子的负号（减法分配律）上产生去括号马虎，错将分子算成 $2+2x^2$，导致错选。
   • 选择题中凡是求解析式，首选特殊值代入法，通常任取一个使分母有意义的简单整数（如 0 或 1），只需几秒即可直接排除错误选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材中“函数解析式的求法”专题训练，是高频考查换元思想的标准母题。
2. 结论推广: 求复合函数 $f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ 的解析式，常用换元法：令 $t=\frac{1-x}{1+x}$，解出 $x=\frac{1-t}{1+t}$，再代入整理得 $f(t)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-04 填-换元求函数解析式
• 1985-广东理-02 填-换元求函数解析式
• 2019-浙江卷-16 填-函数化简