2004-湖北理-02 单-复数的代数运算与代数形式化简

本题导读

本题考查立方根单位虚数 的性质。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 复数 $\frac{(-1+\sqrt{3}\text{i}{)}^5}{1+\sqrt{3}\text{i}}$ 的值是 ()

A. $-16$　　　　　B. $16$　　　　　C. $-\frac{1}{4}$　　　　　D. $\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：观察分子的核心因式 $-1+\sqrt{3}\text{i}$。将其提取常数 2 改写为 $2\cdot \left(\frac{-1+\sqrt{3}\text{i}}{2}\right)=2\omega$。根据三次单位根的性质，满足 ${\omega }^3=1$，可将分子的 5 次方直接降维展开为 $2^5\cdot {\omega }^5=32{\omega }^2$，从而大幅简化分子代数式。
2. 第二步逻辑：将简化后的分子表达为普通的代数式，再与分母 $1+\sqrt{3}\text{i}$ 进行分式化简。分子分母同时乘以分母的共轭复数 $1-\sqrt{3}\text{i}$ 实现分母实数化，整理并消去常数项即可。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 方法一：利用三次单位根 $\omega$ 降幂化简（推荐）： 设 $\omega =\frac{-1+\sqrt{3}\text{i}}{2}$，则根据复数立方根性质，其严格满足： ${\omega }^3=1,{\omega }^2=\frac{-1-\sqrt{3}\text{i}}{2}$ 原方程分子中的因式可变形表达为： $-1+\sqrt{3}\text{i}=2\omega$ 将其代入分子的 5 次方运算中，进行高次幂降维： $(-1+\sqrt{3}\text{i}{)}^5=(2\omega {)}^5=32{\omega }^5=32\cdot {\omega }^3\cdot {\omega }^2=32\times 1\times {\omega }^2=32{\omega }^2$ 将 ${\omega }^2=\frac{-1-\sqrt{3}\text{i}}{2}$ 代回分子中： $32{\omega }^2=32\times \left(\frac{-1-\sqrt{3}\text{i}}{2}\right)=16(-1-\sqrt{3}\text{i})=-16-16\sqrt{3}\text{i}$

• 进行复数分式除法计算（分母实数化）： 将化简后的分子代回原分式： $\frac{(-1+\sqrt{3}\text{i}{)}^5}{1+\sqrt{3}\text{i}}=\frac{-16(1+\sqrt{3}\text{i})}{1+\sqrt{3}\text{i}}$ 由于分子与分母中包含完全相同的非零复数因子 $(1+\sqrt{3}\text{i})$，直接在复数域内进行整体约分： $\frac{-16(1+\sqrt{3}\text{i})}{1+\sqrt{3}\text{i}}=-16$

故选 A

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• 方法二：利用复数的三角形式与棣莫弗定理（备选）： 将分子和分母分别化为标准的复数三角（指数）形式： $-1+\sqrt{3}\text{i}=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{2\pi }{3}\right)$ $1+\sqrt{3}\text{i}=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{\pi }{3}\right)$

  根据棣莫弗定理，求出分子高次幂的模与幅角： $(-1+\sqrt{3}\text{i}{)}^5=2^5\left(\cos \frac{10\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{10\pi }{3}\right)=32\left(\cos \frac{4\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{4\pi }{3}\right)$

  根据复数除法性质（模相除，幅角相减），计算整个分式： $\text{原式}=\frac{32}{2}\left[\cos \left(\frac{4\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(\frac{4\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)\right]=16(\cos \pi +\text{i}\sin \pi )$ 代入具体数值 $\cos \pi =-1,\sin \pi =0$： $\text{原式}=16(-1+0)=-16$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数高次幂运算的降幂策略；共轭复数分母实数化法则；单位根 $\omega$ 或棣莫弗定理的工具套用。
2. 核心方法：三次单位根化简法、复数三角形式转化法。
3. 避坑指南：
   • 极易产生机械思维，对分子盲目采用完全平方公式二重展开（例如先算平方再算立方）。由于数项包含二次根式，盲目强行展开会导致极其繁重的代数计算，考场上极易产生符号与算术马虎。凡是遇到 $(-1\pm \sqrt{3}\text{i})$ 或 $(1\pm \sqrt{3}\text{i})$ 的高次幂，必须条件反射首选“$\omega$ 法”或“三角形式棣莫弗法”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自教材复数代数运算的经典习题，考查复数的四则运算与化简。
2. 结论推广: 一般地，设复数多项式图形为 $W=\frac{(-1+\sqrt{3}\text{i}{)}^n}{1+\sqrt{3}\text{i}}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。利用欧拉公式齐次化，该复数的模与幅角在离散网格上恒严格锁定为如下离散周期解： $W=2^{n-1}\cdot {\text{e}}^{\text{i}\frac{(2n-1)\pi }{3}}$。当且仅当指数满足群同余约束 $2n-1\equiv 3(\mathrm{mod}6)$（即 $n=3k+2,k\in \mathbf{N}$）时，该复数恒退化为纯实数，其齐次解析通式唯一确定为常数： $W=-2^{n-1}$。本题中 $n=5$ 满足约束，直接套用通式秒杀： $W=-2^{5-1}=-2^4=-16$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1985-广东文-03 填-复数的三角形式
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式