2004-湖北文-08 单-分式函数最值

本题导读

本题考查分式函数的最值，以及基本不等式的应用。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 已知 $x⩾\frac{5}{2}$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 有()

A. 最大值 $\frac{5}{4}$　　B. 最小值 $\frac{5}{4}$　　C. 最大值 $1$　　D. 最小值 $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=x-2⩾\frac{1}{2}$，$f(x)=\frac{(x-2{)}^2+1}{2(x-2)}=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$。
2. $t>0$，$t+\frac{1}{t}⩾2$，故 $f(x)⩾1$，等号 $t=1$（$x=3$）。
3. 无最大值，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=x-2$，由 $x⩾\frac{5}{2}$ 得 $t⩾\frac{1}{2}>0$，且 $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1=t^2+1$，$2x-4=2t$，所以 $f(x)=\frac{t^2+1}{2t}=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)$.当 $t>0$ 时 $t+\frac{1}{t}⩾2$，故 $f(x)⩾1$，等号当且仅当 $t=1$（即 $x=3$）时成立，此时 $f(x)$ 取到最小值 $1$.又当 $t\to +\infty$ 时 $f(x)\to +\infty$，无最大值，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式函数最值
2. 核心方法：令 $t=x-2⩾\frac{1}{2}$，$f(x)=\frac{(x-2{)}^2+1}{2(x-2)}=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)⩾1$，等号 $t=1$（$x=3$）；无最大值，选 D
3. 避坑指南：换元后分子是 $t^2+1$，分母 $2t$；$t+\frac{1}{t}⩾2$ 仅 $t>0$ 成立，$t=\frac{1}{2}$ 时不取等，最小值在 $t=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于基本不等式求最值，教材”不等式”
2. 结论推广: 一般化：$x+\frac{1}{x}⩾2$（$x>0$），分式函数配成对勾函数；换元化对勾，用均值不等式求最小，说明无最大

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-13 单-分式函数的单调性
• 2006-安徽文-08 单-对勾函数最值
• 2006-上海文-22 解-对勾函数单调性与最值